Chapitre 4 — Suites numériques

📊 Suites numériques

Les suites sont des fonctions définies sur ℕ (entiers naturels). Elles modélisent des phénomènes discrets (capital placé, populations, démographie).

1. Modes de définition

• Explicite : u_n = f(n) (ex: u_n = 2n + 3)
• Récurrente : u₀ donné, u_n+1 = f(u_n)

2. Suites usuelles

3. Sommes

S_arith = (n+1)(u₀ + u_n)/2   ·   S_géom = u₀(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)

4. Convergence

• Suite convergente vers L : lim u_n = L (finie)
• Suite divergente : limite ±∞ ou pas de limite
• Théorèmes : monotone bornée, gendarmes

5. Raisonnement par récurrence

Pour démontrer P(n) pour tout n ≥ n₀ :

1. Initialisation : P(n₀) vraie
2. Hérédité : si P(k) vraie alors P(k+1) vraie
3. Conclusion : P(n) vraie pour tout n ≥ n₀