📐 Géométrie dans l'espace
La géométrie 3D au BAC C combine vecteurs, droites et plans dans un repère orthonormé. Maîtrisez les calculs vectoriels et les équations de plans/droites.
1. Vecteurs dans l'espace
Un vecteur ⃗u dans l'espace s'écrit avec 3 coordonnées : ⃗u = (x, y, z).
- Norme : ‖⃗u‖ = √(x² + y² + z²)
- Produit scalaire : ⃗u·⃗v = x1x2 + y1y2 + z1z2
- Orthogonalité : ⃗u·⃗v = 0
- Produit vectoriel : ⃗u ∧ ⃗v = vecteur perpendiculaire au plan (⃗u, ⃗v)
2. Équation de plan
Forme cartésienne : ax + by + cz + d = 0
où (a, b, c) sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.
3. Représentation paramétrique d'une droite
Une droite passant par A et de vecteur directeur ⃗u :
x = xA + t·ux
y = yA + t·uy
z = zA + t·uz
(t ∈ ℝ)
4. Distances et intersections
- Distance point ⇄ plan : d = |axP + byP + czP + d| / √(a² + b² + c²)
- Intersection droite/plan : substituer la paramétrique dans l'équation du plan
- Position relative 2 plans : parallèles, sécants, confondus
