Objectifs de la leçon
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique
- Calculer un terme général un et une somme de termes consécutifs
- Étudier le sens de variation et la limite d'une suite
- Modéliser un phénomène réel par une suite (intérêt simple/composé, population)
- Démontrer une propriété par récurrence
1. Définition d'une suite
Une suite numérique est une fonction de ℕ dans ℝ : à chaque n entier naturel, on associe un réel un. On note (un)n∈ℕ. Définition possible :
- Explicite : un = f(n), par exemple un = 2n + 3
- Récurrente : un+1 = g(un), par exemple un+1 = 2un + 1, u₀ = 1
2. Suite arithmétique
Une suite (un) est arithmétique de raison r ssi un+1 = un + r pour tout n.
- Terme général : un = up + (n − p)·r
- Somme de n termes consécutifs : S = (n × (premier + dernier)) / 2
- Variation : croissante si r > 0, décroissante si r < 0
- Limite : +∞ si r > 0, −∞ si r < 0, constante si r = 0
Application 1 — Camerounais et suites
Un cultivateur de cacao à Mbalmayo place 50 000 FCFA chaque mois sur un livret tontinier. Après 12 mois, combien aura-t-il épargné ?
Solution : Suite arithmétique un = 50 000 × n. Somme S12 = 12 × (50 000 + 600 000) / 2 = 3 900 000 FCFA. Mais comme c'est juste l'épargne cumulée sans intérêts : 12 × 50 000 = 600 000 FCFA si on additionne brut (problème : interprétation à clarifier en exam).
3. Suite géométrique
Une suite (un) est géométrique de raison q (≠0) ssi un+1 = q × un pour tout n.
- Terme général : un = up × qn−p
- Somme de n+1 termes : S = u0 × (1 − qn+1) / (1 − q) si q ≠ 1
- Limite : 0 si |q| < 1, +∞ ou divergente sinon
Application 2 — Intérêt composé
Une banque ECOBANK propose un placement à 5 % par an. Quel capital obtient-on après 10 ans en plaçant 1 000 000 FCFA ?
Solution : Suite géométrique un+1 = 1,05 × un, u₀ = 1 000 000. u10 = 1 000 000 × 1,05¹⁰ ≈ 1 000 000 × 1,629 = 1 628 895 FCFA.
4. Démonstration par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :
- Initialisation : vérifier P(n₀)
- Hérédité : supposer P(n) vraie pour un n quelconque ≥ n₀ et montrer que P(n+1) est vraie
- Conclusion : par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀
Astuce OBC : pour distinguer suite arithmétique et géométrique, calcule un+1 − un (constante → arithm.) ou un+1/un (constante → géom.).
Pièges OBC :- Confondre n termes et n+1 termes dans la somme
- Oublier de vérifier u₀ ≠ 0 pour suite géométrique
- Mal écrire la formule Sn géométrique (avec ou sans u₀)
- Démonstration par récurrence incomplète (oublier l'hérédité)
Points-clés à retenir
- Arithmétique : un+1 = un + r ; un = u₀ + nr
- Géométrique : un+1 = q × un ; un = u₀ × qn
- Somme arithmétique : n(u₁+un)/2
- Somme géométrique : u₀(1−qn+1)/(1−q)
- Récurrence : initialisation + hérédité
Pour aller plus loin
