Probatoire Série D · Programme MINESEC 1ère D · OBC Buéa
Soit f une fonction définie au voisinage de x₀. On dit que f a pour limite ℓ en x₀, noté limx→x₀ f(x) = ℓ, si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que |x − x₀| < η ⇒ |f(x) − ℓ| < ε. Cette définition formelle, exigée au Probatoire D, conduit aux règles pratiques suivantes.
| Fonction | Limite en +∞ | Limite en −∞ |
|---|---|---|
| xn (n>0) | +∞ | +∞ si n pair, −∞ si n impair |
| 1/xn | 0⁺ | 0 (selon parité) |
| √x | +∞ | non défini |
| sin x, cos x | pas de limite | pas de limite |
Les formes indéterminées à connaître au Probatoire D sont : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Techniques de levée :
Calculer limx→+∞ (3x² + 5) / (x² − 2x + 1).
Solution : On factorise x² au numérateur et au dénominateur : f(x) = x²(3 + 5/x²) / [x²(1 − 2/x + 1/x²)] = (3 + 5/x²) / (1 − 2/x + 1/x²) → 3 quand x→+∞.
f est continue en x₀ ⇔ limx→x₀ f(x) = f(x₀). Une fonction est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Selon MINESEC (programme 1ère D, §3.2) : « Les fonctions polynômes, rationnelles (sur leur ensemble de définition), racine carrée, sin et cos sont continues sur leur domaine de définition. »
Si f est continue sur [a, b], alors pour toute valeur k comprise entre f(a) et f(b), il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que f(c) = k. Application classique : preuve d'existence de solutions d'équations.
Le nombre dérivé de f en x₀ est : f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h. Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse x₀.
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| xn | n·xn−1 |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
Déterminer l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 1, avec f(x) = x³ − 3x + 2.
Solution : f(1) = 1 − 3 + 2 = 0. f'(x) = 3x² − 3, donc f'(1) = 0. Équation : y = f'(1)(x − 1) + f(1) = 0. La tangente est l'axe des abscisses (y = 0).
Méthode-type au Probatoire OBC :
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