Introduction rigoureuse à l'analyse — fondations du calcul différentiel au Probatoire C.
Soit f une fonction définie au voisinage de x_0 (sauf peut-être en x_0). On dit que f admet pour limite L en x_0 si f(x) devient aussi proche que l'on veut de L lorsque x se rapproche de x_0. On note : lim_{x→x_0} f(x) = L.
Selon le programme MINESEC 1ère C, la notion de limite est introduite « de manière intuitive », sans recours formel à la définition ε-δ qui sera vue en Terminale. Source : minesec.gov.cm.
| Fonction | Limite en +∞ | Limite en −∞ | Limite en 0 |
|---|---|---|---|
| x^n (n ≥ 1) | +∞ | +∞ si n pair, −∞ si n impair | 0 |
| 1/x^n | 0+ | 0− ou 0+ | ±∞ |
| √x | +∞ | — | 0 |
| x → e^x | +∞ | 0+ | 1 |
| x → ln(x) | +∞ | — | −∞ |
Les limites se combinent par addition, produit, quotient, mais quatre formes restent indéterminées (FI) :
Calculer lim_{x→+∞} (3x² − 5x + 1)/(2x² + x − 4).
Méthode : on factorise par x² au numérateur et dénominateur :
= lim x²(3 − 5/x + 1/x²) / x²(2 + 1/x − 4/x²) = (3 − 0 + 0)/(2 + 0 − 0) = 3/2.
Si lim_{x→a} f(x) = ±∞ alors la droite x = a est asymptote verticale à la courbe de f.
Si lim_{x→±∞} f(x) = b (finie) alors y = b est asymptote horizontale.
Si f(x) = ax + b + g(x) avec lim_{x→±∞} g(x) = 0, alors y = ax + b est asymptote oblique. Au Probatoire C, on l'obtient souvent par division euclidienne dans une fonction rationnelle.
Une fonction f est continue en x_0 si : (i) f(x_0) est définie, (ii) lim_{x→x_0} f(x) existe, (iii) lim_{x→x_0} f(x) = f(x_0).
Toutes les fonctions polynomiales, rationnelles, racines, exponentielles et logarithmes sont continues sur leur ensemble de définition.
Si f est continue sur [a; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c ∈ [a; b] tel que f(c) = k. Application : existence d'une solution à une équation f(x) = 0.
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