Leçon 1 — Suites numériques
Arithmétiques, géométriques et récurrentes — fondations de l'analyse au Probatoire C (MINESEC, OBC).
Objectifs pédagogiques
- Définir une suite numérique et reconnaître ses modes de génération (explicite, récurrence)
- Identifier une suite arithmétique de raison r et une suite géométrique de raison q
- Calculer le terme général et la somme des n premiers termes
- Étudier le sens de variation et la convergence d'une suite simple
- Résoudre des problèmes contextualisés au Cameroun (épargne, démographie, économie)
1. Définition et modes de génération
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels ℕ (ou une partie de ℕ) à valeurs dans ℝ. On note (u_n) la suite dont le terme de rang n est u_n. Le programme MINESEC de 1ère C distingue deux modes principaux de génération :
- Mode explicite : le terme général u_n est donné en fonction directe de n. Exemple : u_n = 3n + 5.
- Mode récurrent : on connaît le premier terme u_0 (ou u_1) et une relation u_{n+1} = f(u_n). Exemple : u_0 = 2 et u_{n+1} = 2u_n + 1.
Selon le programme officiel MINESEC de mathématiques 1ère C (arrêté n°33/D/63/MINESEC/IGE), « l'étude des suites numériques constitue une introduction à l'analyse et à la modélisation de phénomènes discrets ». Source : minesec.gov.cm.
2. Suites arithmétiques
Une suite (u_n) est dite arithmétique de raison r si pour tout n ∈ ℕ : u_{n+1} = u_n + r. La différence entre deux termes consécutifs est constante.
Terme général
Si u_0 est le premier terme : u_n = u_0 + n × r. Si l'on connaît u_p (p quelconque) : u_n = u_p + (n − p) × r.
Somme des n+1 premiers termes
S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n = (n+1)(u_0 + u_n)/2. Cette formule sera systématiquement testée à l'OBC.
| Suite | Type | u_n | S_n (de u_0 à u_n) |
|---|
| u_n = 2n + 5 | Arithmétique r=2 | 2n+5 | (n+1)(n+5) |
| u_n = 100 − 3n | Arithmétique r=−3 | 100−3n | (n+1)(200−3n)/2 |
3. Suites géométriques
Une suite (u_n) est dite géométrique de raison q (q≠0) si u_{n+1} = q × u_n. Le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Terme général
u_n = u_0 × q^n. Plus généralement u_n = u_p × q^(n−p).
Somme
Si q ≠ 1 : S_n = u_0 × (1 − q^(n+1))/(1 − q). Si q = 1 : S_n = (n+1) × u_0.
Application — Épargne au Crédit Foncier du Cameroun
Monsieur Mbarga place 500 000 FCFA au Crédit Foncier du Cameroun à un taux annuel composé de 4%. Soit u_n le capital après n années.
u_0 = 500 000 et u_{n+1} = 1,04 × u_n. (Suite géométrique de raison q = 1,04).
Après 5 ans : u_5 = 500 000 × 1,04^5 ≈ 608 326 FCFA. Le capital aura donc progressé de plus de 108 000 FCFA.
4. Sens de variation et convergence
Pour étudier le sens de variation, on calcule u_{n+1} − u_n et on étudie son signe :
- Si u_{n+1} − u_n > 0 pour tout n : la suite est strictement croissante.
- Si u_{n+1} − u_n < 0 pour tout n : la suite est strictement décroissante.
- Pour les suites à termes strictement positifs, on peut aussi étudier le quotient u_{n+1}/u_n par rapport à 1.
Convergence (notion intuitive en 1ère C)
Une suite (u_n) converge vers L si u_n se rapproche d'aussi près que l'on veut de L lorsque n devient grand. Au Probatoire C, on étudie surtout :
- Suite arithmétique : converge ⟺ r = 0 (suite constante).
- Suite géométrique de raison q : converge vers 0 si |q| < 1, diverge si |q| > 1.
Astuce méthodologique : au Probatoire C, dès que tu reconnais une relation de type u_{n+1} = a × u_n + b avec a ≠ 1, pense à la suite auxiliaire v_n = u_n − ℓ où ℓ est le point fixe (solution de ℓ = a×ℓ + b). v_n est alors géométrique de raison a.
5. Pièges fréquents au Probatoire OBC
Erreurs récurrentes statistiquement observées sur les annales 2020-2025 :- Confondre raison arithmétique (différence) et raison géométrique (rapport)
- Oublier que la somme S_n d'une suite arithmétique contient (n+1) termes lorsqu'on part de u_0
- Appliquer une formule de suite géométrique à une suite arithmétique (ou inversement)
- Calculer q^n avec une calculatrice sans vérifier la cohérence (signe, ordre de grandeur)
6. Synthèse — Points-clés à retenir
- Arithmétique : u_{n+1} − u_n = r constant ; u_n = u_0 + nr
- Géométrique : u_{n+1}/u_n = q constant ; u_n = u_0 × q^n
- Somme arithmétique : (nb termes) × (premier + dernier) / 2
- Somme géométrique : u_0 × (1 − q^(n+1))/(1 − q)
- Convergence géométrique : 0 si |q| < 1
- Toujours préciser l'indice de départ (u_0 ou u_1) car les formules en dépendent
7. Pour aller plus loin
