✏️ Exercice type — Annales 2024 PC

Énoncé. Un solide de masse m = 200 g est lâché sans vitesse initiale du point A situé à une hauteur h = 1,5 m. Il glisse sur un plan incliné d'angle α = 30° avec frottements (force constante f = 0,5 N).

1. Établir l'équation différentielle du mouvement.

2. Calculer l'accélération.

3. Déterminer la vitesse au point B (bas du plan).

Correction.

1. Système : le solide. Référentiel : terrestre (galiléen). Bilan : poids P = mg, réaction normale N, force de frottement f opposée au mouvement.

Projection sur l'axe du plan incliné : m·a = m·g·sin(α) − f, donc a = g·sin(α) − f/m.

2. AN : a = 10 × 0,5 − 0,5 / 0,2 = 5 − 2,5 = 2,5 m/s².

3. Distance AB = h / sin(α) = 1,5 / 0,5 = 3 m. v² = 2·a·AB = 2 × 2,5 × 3 = 15, donc v ≈ 3,87 m/s.

Exercice 1 : Chute libre d'un corps

Énoncé : Un objet est lâché sans vitesse initiale du haut d'un immeuble de 45 m. Calculer : (a) la durée de chute, (b) la vitesse à l'impact, (c) la vitesse à mi-hauteur. On prend g = 9,81 m/s².

Solution :

(a) Durée de chute :

En chute libre : h = ½ × g × t²

→ t = √(2h/g) = √(2 × 45 / 9,81) = √(9,174) ≈ 3,03 s

(b) Vitesse à l'impact :

v = g × t = 9,81 × 3,03 ≈ 29,7 m/s ≈ 107 km/h

Ou directement : v = √(2gh) = √(2 × 9,81 × 45) ≈ 29,7 m/s

(c) Vitesse à mi-hauteur (h = 22,5 m) :

v = √(2g × 22,5) = √(441,45) ≈ 21,0 m/s

Exercice 2 : Plan incliné

Énoncé : Un bloc de masse m = 3 kg est posé sur un plan incliné à 30° par rapport à l'horizontale. Le coefficient de frottement cinétique est μk = 0,20. Le bloc est relâché sans vitesse initiale. Calculer l'accélération du bloc et la force de frottement. (g = 9,81 m/s²)

Solution :

Forces sur le bloc : poids P = mg = 3 × 9,81 = 29,43 N

Composante normale à l'inclinaison : N = mg × cos(30°) = 29,43 × 0,866 = 25,49 N

Force de frottement : f = μk × N = 0,20 × 25,49 = 5,10 N

Composante du poids dans la direction du mouvement : P‖ = mg × sin(30°) = 29,43 × 0,5 = 14,72 N

Résultante (2ème loi de Newton) : F = P‖ - f = 14,72 - 5,10 = 9,62 N

Accélération : a = F/m = 9,62/3 ≈ 3,21 m/s²

Exercice 3 : Calcul de pH — Solution acido-basique

Énoncé : Calculer le pH d'une solution d'acide chlorhydrique HCl de concentration C = 0,025 mol/L, puis d'une solution de soude NaOH de même concentration. (Ka de l'eau = 10⁻¹⁴)

Solution HCl (acide fort) :

HCl est un acide fort : ionisation totale → [H₃O⁺] = C = 0,025 mol/L

pH = -log[H₃O⁺] = -log(0,025) = -log(2,5 × 10⁻²) = 2 - log(2,5) ≈ 2 - 0,40 = 1,60

Solution NaOH (base forte) :

NaOH → Na⁺ + OH⁻ → [OH⁻] = 0,025 mol/L

pOH = -log(0,025) ≈ 1,60

pH = 14 - pOH = 14 - 1,60 = 12,40

Exercice 4 : Puissance électrique dissipée

Énoncé : Un circuit comporte une résistance R₁ = 100 Ω et R₂ = 150 Ω branchées en parallèle, sous une tension U = 12 V. Calculer : l'intensité totale, la résistance équivalente, la puissance totale dissipée.

Solution :

Résistance équivalente en parallèle : 1/Req = 1/R₁ + 1/R₂ = 1/100 + 1/150 = 0,01 + 0,00667 = 0,01667

Req = 1/0,01667 = 60 Ω

Intensité totale : I = U/Req = 12/60 = 0,20 A

Puissance totale : P = U × I = 12 × 0,20 = 2,40 W

Vérification : P = U²/Req = 144/60 = 2,40 W ✓