PARTIE A — MATHÉMATIQUES BCE (Programme BO 2021)

Les mathématiques BCE comportent deux épreuves distinctes : Maths 1 (3h, analyse et algèbre linéaire) et Maths 2 (3h, probabilités et statistiques). Pour HEC Paris uniquement, s'ajoute une épreuve de Maths approfondies (3h, coef 4). Le programme suit le bulletin officiel de 2021.

1. Analyse — Programme complet

1.1 Suites numériques

Une suite réelle (u_n) est une fonction de ℕ dans ℝ. Le programme BCE couvre :

• Convergence et divergence : Définition ε–N de la limite. Limite finie ℓ : ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |u_n − ℓ| ≤ ε. Théorèmes de passage à la limite (somme, produit, quotient). Critère des suites monotones bornées (toute suite croissante majorée converge).
• Suites récurrentes u_n+1 = f(u_n) : Existence et unicité d'un point fixe, convergence vers ce point fixe si |f'(ℓ)| < 1. Méthode graphique (toile d'araignée).
• Suites arithmétiques et géométriques : Formules de sommes, limite (géométrique : converge si |r| < 1, vers 0).
• Comparaisons asymptotiques : Équivalents (u_n ~ v_n si u_n/v_n → 1), négligeables, dominants. Croissances comparées : e^αn domine n^k qui domine ln^p(n).

1.2 Continuité et dérivabilité

• Limites de fonctions : Définition en un point, en ±∞. Règles de calcul, formes indéterminées (0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞−∞), levée par factorisation ou équivalents.
• Continuité : Continuité en un point, sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f continue sur [a,b] et f(a) < k < f(b), alors ∃c ∈]a,b[ tel que f(c) = k. Application : existence de solutions d'équations.
• Dérivabilité : Définition par taux de variation. Dérivées usuelles (polynômes, exp, ln, sin, cos, tan). Règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition). Dérivée des fonctions réciproques.
• Théorème de Rolle et accroissements finis (TAF) : Si f dérivable sur ]a,b[ et continue sur [a,b], ∃c ∈]a,b[ tel que f'(c) = (f(b)−f(a))/(b−a). Applications : inégalités, preuves d'unicité.
• Formule de Taylor-Young à l'ordre n : f(a+h) = f(a) + hf'(a) + h²/2! × f''(a) + … + hⁿ/n! × f⁽ⁿ⁾(a) + o(hⁿ). Développements limités standard : e^x, sin(x), cos(x), ln(1+x), (1+x)^α.

1.3 Calcul intégral

• Intégrale de Riemann : Définition par sommes de Riemann, propriétés de linéarité, croissance, relation de Chasles. Primitives : ∫f(x)dx.
• Techniques d'intégration : Intégration par parties (IBP) : ∫u'v = [uv] − ∫uv'. Changement de variable. Fractions rationnelles (décomposition en éléments simples).
• Inégalités intégrales : Si f ≤ g sur [a,b], alors ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g. Inégalité de la moyenne : m(b−a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b−a).
• Intégrales impropres : Convergence de ∫₁^+∞ 1/x^α dx (converge si α > 1), ∫₀¹ 1/x^α dx (converge si α < 1). Critère de comparaison.
• Intégrales à paramètre : Continuité et dérivabilité sous le signe intégral (théorème de Lebesgue, cas compact). Application en probabilités (calcul d'espérances pour lois continues).

1.4 Équations différentielles

• Équations différentielles linéaires d'ordre 1 : y' + a(x)y = b(x). Solution homogène : y_h = C × e^−∫a(x)dx. Solution particulière par variation de la constante. Problème de Cauchy : existence et unicité sous conditions de Lipschitz.
• Équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants : y'' + py' + qy = f(x). Équation caractéristique r² + pr + q = 0. Trois cas selon le discriminant Δ : (1) Δ > 0 : deux racines réelles distinctes r₁, r₂, y_h = Ae^r₁x + Be^r₂x ; (2) Δ = 0 : racine double r, y_h = (A + Bx)e^rx ; (3) Δ < 0 : racines complexes α ± iβ, y_h = e^αx(A cos βx + B sin βx). Solution particulière : méthode des coefficients indéterminés si f est polynôme, exponentielle ou sinusoïde.

2. Algèbre linéaire

2.1 Espaces vectoriels

• Définition : Ensemble E muni de deux lois (addition, multiplication scalaire) vérifiant 8 axiomes. Exemples fondamentaux : ℝⁿ, les polynômes ℝ[X], les matrices M_n,p(ℝ), les fonctions continues C([a,b],ℝ).
• Sous-espaces vectoriels (SEV) : Critères de reconnaissance. Intersection de SEV est un SEV. Somme et somme directe.
• Famille libre, génératrice, base : Base de ℝⁿ = famille libre génératrice. Théorème de la base incomplète. Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie.
• Rang, noyau, image : Pour f : E → F linéaire, dim(Ker f) + rg(f) = dim(E) (théorème du rang).

2.2 Matrices

• Opérations matricielles : Addition, multiplication scalaire, produit (non commutatif en général). Matrice transposée ^tA. Trace : tr(A) = somme des coefficients diagonaux.
• Déterminant : Définition par développement selon une ligne/colonne (cofacteurs). Propriétés : det(AB) = det(A)det(B), det(^tA) = det(A), det(λA) = λⁿdet(A). Règle de Sarrus (3×3).
• Rang d'une matrice : Rang = dimension de l'espace des colonnes = dimension de l'espace des lignes. Calcul par échelonnage (méthode de Gauss).
• Matrices inversibles : A inversible ⟺ det(A) ≠ 0 ⟺ rg(A) = n. A⁻¹ = (1/det(A)) × Com(A)^t. Calcul par augmentation [A|I_n] → [I_n|A⁻¹].
• Systèmes linéaires AX = B : Méthode de Gauss-Jordan, discussion selon rg(A) et rg(A|B). Règle de Cramer (systèmes carrés).

2.3 Réduction des endomorphismes

• Valeurs propres et vecteurs propres : λ est valeur propre de f si ∃v ≠ 0, f(v) = λv. Polynôme caractéristique χ_A(λ) = det(A − λI_n). Les valeurs propres sont les racines de χ_A.
• Diagonalisation : A est diagonalisable ⟺ il existe une base de vecteurs propres ⟺ χ_A est scindé à racines simples (condition suffisante). D = P⁻¹AP avec D diagonale. Application : calcul de Aⁿ, résolution de systèmes différentiels.
• Trigonalisation : Sur ℝ, toute matrice à polynôme caractéristique scindé est trigonalisable. Application : traces de puissances, déterminants.

3. Probabilités et Statistiques

3.1 Espaces probabilisés

• Espace discret : (Ω, P(Ω), P) avec P({ω}) ≥ 0 et Σ P({ω}) = 1. Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Formule des probabilités totales. Théorème de Bayes : P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i) / ΣP(A|B_j)P(B_j).
• Indépendance : A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A)P(B). Attention : indépendance deux à deux ≠ indépendance mutuelle.

3.2 Variables aléatoires et lois usuelles

3.3 Loi des grands nombres et Théorème Central Limite

• Loi faible des grands nombres (Tchebyshev) : Si X₁,...,Xₙ i.i.d. d'espérance μ, alors X̄ₙ → μ en probabilité quand n → ∞. Inégalité de Bienaymé-Tchebyshev : P(|X − μ| ≥ kσ) ≤ 1/k².
• Théorème Central Limite (TCL) : Si X₁,...,Xₙ i.i.d. d'espérance μ et variance σ², alors (X̄ₙ − μ)/(σ/√n) → N(0,1) en loi. Application : intervalles de confiance, tests d'hypothèses, approximation de la loi binomiale par normale pour n grand.

3.4 Option Maths Approfondies HEC

L'option maths approfondies (coef 4 chez HEC uniquement) couvre des thèmes supplémentaires :

• Espaces vectoriels normés et topologie : Normes équivalentes en dimension finie, boules ouvertes/fermées, compacts.
• Convergence uniforme : Différence entre convergence simple et uniforme. Théorème : limite uniforme de fonctions continues est continue. Permutation série/intégrale sous convergence normale.
• Formes bilinéaires et espaces euclidiens : Produit scalaire, norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, procédé de Gram-Schmidt, matrices orthogonales.
• Séries entières : Rayon de convergence, dérivation et intégration terme à terme à l'intérieur du disque de convergence.

4. Méthode de rédaction en mathématiques BCE

La rédaction est un critère de notation explicite au concours BCE. Un résultat juste mais mal rédigé peut perdre 30 à 50% des points.

• Nommer les théorèmes utilisés et vérifier explicitement toutes les hypothèses avant application (ex. : "f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, donc d'après le TAF, ∃c ∈]a,b[ tel que…").
• Justifier chaque affirmation : Ne jamais écrire "donc" sans justification. Utiliser les connecteurs logiques : ⟹ (implication), ⟺ (équivalence), ∀ (pour tout), ∃ (il existe), ∈, ∉.
• Structurer la réponse : Numéroter les étapes, distinguer clairement la partie "calcul brouillon" et la rédaction finale.
• Ne pas abandonner une question : Poser les hypothèses du théorème qu'on voudrait appliquer, même si on ne peut pas le démontrer. Les correcteurs récompensent la démarche.
• Gestion du temps : Maths 1 = 3h, environ 5-6 exercices. Allouer 25-30 min par exercice, revenir sur les questions non résolues en fin d'épreuve.

PARTIE B — ESH : Économie-Sociologie-Histoire du Monde Contemporain

Programme 1ère année ECG

Thème 1 — Croissance économique et développement

• Modèle de Solow (1956) : Croissance exogène tirée par l'accumulation du capital et la croissance de la population. Convergence conditionnelle des pays vers leur état stationnaire. Résidu de Solow = progrès technique total des facteurs (PTF), non expliqué par le modèle.
• Théories de la croissance endogène : Romer (1986, rendements croissants des idées), Lucas (1988, capital humain), Barro (1990, infrastructures publiques). L'innovation et l'éducation sont des moteurs endogènes.
• Développement humain : Amartya Sen (capabilités), IDH (PNUD 1990), distinction croissance/développement. Paradoxe d'Easterlin : au-delà d'un seuil, la croissance n'augmente plus le bonheur.

Thème 2 — Mondialisation des échanges

• Ricardo et les avantages comparatifs (1817) : Chaque pays se spécialise dans ce qu'il fait relativement le mieux, même s'il est absolument moins productif dans tous les domaines. Fondement du libre-échange.
• Modèle HOS (Heckscher-Ohlin-Samuelson) : Les pays exportent les biens intensifs en leur facteur abondant. Convergence des prix des facteurs selon le théorème de Stolper-Samuelson.
• Nouvelles théories du commerce : Krugman (1979, concurrence monopolistique, rendements croissants, échanges intra-branches). Melitz (2003, hétérogénéité des firmes, seuil de productivité pour exporter).
• Chaînes de valeur mondiales (CVM) : Fragmentation internationale de la production. Baldwin (2016, "la deuxième déglobalisation"). COVID-19 et relocalisation.

Thème 3 — Marché du travail et chômage

• Chômage keynésien : Résulte d'une insuffisance de la demande effective. Remède : politique budgétaire expansionniste (relance).
• Courbe de Phillips (1958) : Relation inverse inflation/chômage. Stagflation des années 1970 invalide ce lien simple.
• NAIRU (Non-Accelerating Inflation Rate of Unemployment) : Friedman et Phelps (1968). Chômage naturel structurel incompressible par la politique monétaire à long terme.
• Flexicurité danoise : Triangle d'or (flexibilité du marché + générosité des allocations + politiques actives d'emploi).
• Chômage technologique : Débat sur l'impact de l'automatisation (IA, robots) sur l'emploi. Acemoglu et Restrepo (2019) : effets de déplacement vs. création.

Thème 4 — Monnaie et financement de l'économie

• Fonctions de la monnaie : Unité de compte, intermédiaire des échanges, réserve de valeur. Paradoxe de la liquidité (Keynes) : trappe à liquidité.
• Politique monétaire : BCE (objectif inflation 2%), FED (dual mandate : inflation + emploi). Instruments : taux directeurs, open market, QE (quantitative easing). Forward guidance.
• Théorie quantitative de la monnaie : MV = PT (Fisher). Inflation si M croît plus vite que la production réelle.
• Système financier : Rôle des banques (création monétaire ex nihilo via le crédit), marchés financiers (financement direct), shadow banking. Risque systémique.

Thème 5 — Déséquilibres mondiaux et crises financières

• Crise de 1929 : Krach boursier octobre 1929, faillites bancaires en chaîne, spirale déflationniste. Réponse Rooseveltienne : New Deal. Leçons pour la régulation financière.
• Crise de 2008 : Bulle immobilière américaine, titrisation des subprimes, Lehman Brothers (septembre 2008). Réponse : TARP aux USA, récession mondiale, réforme Bâle III.
• COVID-19 (2020-2021) : Choc d'offre ET de demande simultané. Plans de relance massifs (Next Generation EU, IRA américain). Inflation de 2021-2023 liée à la relance + chocs d'offre.

Programme 2ème année ECG

Thème 6 — L'Union Économique et Monétaire européenne

• Traité de Maastricht (1992) : Critères de convergence (déficit < 3% PIB, dette < 60% PIB, inflation faible). Zone euro inaugurée en 1999, pièces et billets en 2002.
• Zone monétaire optimale (ZMO) — Mundell (1961) : Une zone monétaire est optimale si forte mobilité du travail, flexibilité des salaires, budget fédéral, diversification économique. L'Europe remplit imparfaitement ces critères.
• Crise de la zone euro (2010-2012) : Grèce, Portugal, Espagne, Italie. Mécanisme Européen de Stabilité (MES), programmes d'austérité, "whatever it takes" de Draghi (2012).
• Union Bancaire : Mécanisme de Supervision Unique (MSU, BCE), Mécanisme de Résolution Unique (MRU), Fonds de Résolution Unique (FRU). Garantie des dépôts EDIS encore incomplète.

Thème 7 — Inégalités et mobilité sociale

• Piketty (2013, Le Capital au 21e siècle) : R > G sur le long terme (rendement du capital > croissance) entraîne concentration des patrimoines. Remède : impôt mondial sur le capital.
• Rawls (Théorie de la Justice, 1971) : Principe de différence — les inégalités sont justes seulement si elles bénéficient aux plus défavorisés. Voile d'ignorance.
• Bourdieu (capital culturel, social, économique) : Reproduction sociale. Les dispositions transmises par la famille (habitus) perpétuent les inégalités scolaires et professionnelles.
• Indice de Gini : 0 = égalité parfaite, 1 = inégalité absolue. France ~0,29, USA ~0,41, Afrique du Sud ~0,63.

5. Méthode dissertation ESH — 4h

La dissertation d'ESH est une épreuve de 4 heures, coef 7-8 selon l'école. Un plan en 3 parties avec sous-parties et des données chiffrées est attendu.

Structure modèle d'une dissertation ESH

1. Introduction (20-30 lignes) : Accroche statistique récente (INSEE, FMI, OCDE) + définition des termes-clés du sujet + contextualisation historique + reformulation en problématique explicite + annonce du plan.
2. Développement : 3 grandes parties, 2-3 sous-parties chacune. Chaque sous-partie = argument + illustration théorique (auteur + date) + données chiffrées + exemple concret.
3. Conclusion : Réponse directe à la problématique (1 phrase) + bilan nuancé + ouverture sur une question connexe.

Points-clés à retenir

• Les maths BCE couvrent : analyse (suites, DL, intégrales, EDO), algèbre linéaire (matrices, diagonalisation) et probabilités (lois usuelles, TCL).
• La rédaction est notée : nommer les théorèmes + vérifier les hypothèses + connecteurs logiques.
• Option maths approfondies HEC (coef 4) : espaces euclidiens, convergence uniforme, séries entières.
• ESH 1ère année : croissance (Solow/Romer), mondialisation (Ricardo/HOS/Krugman), travail (Phillips/NAIRU), monnaie (BCE/FED), crises (1929/2008/COVID).
• ESH 2ème année : UEM (Maastricht/ZMO/crise 2010), inégalités (Piketty/Rawls/Bourdieu).
• Dissertation ESH 4h : accroche statistique + 3 parties + données chiffrées obligatoires + auteurs datés.