Analyse, suites numériques, probabilités, géométrie : le socle du BAC D.
Durée : 4 heures, coefficient 4. L'épreuve comporte généralement 3 à 4 exercices indépendants : 1 exercice d'analyse (étude de fonction), 1 exercice de suites ou de probabilités, 1 exercice de géométrie ou de nombres complexes, parfois 1 problème de synthèse.
Selon le programme officiel MESTFP Bénin pour le BAC D, les mathématiques visent à « consolider la rigueur logique, le raisonnement abstrait et la modélisation de phénomènes naturels par des outils mathématiques adaptés aux sciences de la vie. »
| Fonction | Limite | Cas |
|---|---|---|
| ln(x)/x | 0 | x → +∞ |
| x·ln(x) | 0 | x → 0⁺ |
| eˣ/x | +∞ | x → +∞ |
| (eˣ-1)/x | 1 | x → 0 |
1. Df = ℝ (définie partout).
2. lim(x→-∞) f = 0 (croissance comparée), lim(x→+∞) f = +∞.
3. f'(x) = eˣ + x·eˣ = (1+x)·eˣ. Signe = signe de (1+x).
4. f'(x) < 0 sur ]-∞, -1[, f'(x) > 0 sur ]-1, +∞[. f admet un minimum en x = -1 : f(-1) = -1/e ≈ -0,368.
5. Asymptote horizontale y=0 en -∞.
Définition : u(n+1) = u(n) + r, où r = raison.
Terme général : u(n) = u(0) + n·r.
Somme : S(n) = (n+1) · (u(0) + u(n)) / 2.
Définition : u(n+1) = q · u(n), où q = raison.
Terme général : u(n) = u(0) · qⁿ.
Somme : S(n) = u(0) · (1 - q^(n+1)) / (1 - q) si q ≠ 1.
Formule de Bayes : P(A|B) = P(A∩B) / P(B), si P(B) ≠ 0.
Indépendance : A et B indépendants ⇔ P(A∩B) = P(A) · P(B).
Une maladie touche 1% de la population. Un test est positif chez 95% des malades (sensibilité) et chez 5% des non-malades (faux positifs). Si un patient est positif, quelle est la probabilité qu'il soit réellement malade ?
Bayes : P(M|+) = P(+|M)·P(M) / P(+) = (0,95 × 0,01) / (0,95×0,01 + 0,05×0,99) = 0,0095 / 0,059 ≈ 0,161 ou 16,1%.
Résultat contre-intuitif : malgré la sensibilité de 95%, un test positif ne donne que 16% de chances d'être réellement malade — illustre le danger des faux positifs en santé publique.
X suit B(n, p) si X = nombre de succès en n essais indépendants de Bernoulli de probabilité p.
P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k).
Espérance : E(X) = n·p. Variance : V(X) = n·p·(1-p).
z = a + ib (a, b ∈ ℝ, i² = -1).
Module : |z| = √(a² + b²). Argument : arg(z) = θ tel que cos(θ) = a/|z|, sin(θ) = b/|z|.
Forme trigonométrique : z = |z|·(cos θ + i·sin θ) = |z|·e^(iθ) (forme exponentielle).
z représente le point M(a, b) dans le plan complexe. Les transformations géométriques s'expriment simplement : translation (z' = z + ω), rotation d'angle θ (z' = e^(iθ) · z), homothétie (z' = k · z).
Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x² − 2x) · e^x. Étudier complètement la fonction et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La fonction polynomiale (x² − 2x) et la fonction exponentielle eˣ sont définies sur ℝ. Donc D_f = ℝ.
En +∞ : x² − 2x → +∞ et eˣ → +∞, donc f(x) → +∞.
En −∞ : on a une forme indéterminée « ∞ × 0 ». Par croissance comparée : x² · eˣ → 0 et 2x · eˣ → 0, donc limx→−∞ f(x) = 0. La droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale en −∞.
On dérive comme un produit u·v avec u = x² − 2x et v = eˣ :
f'(x) = (2x − 2)·eˣ + (x² − 2x)·eˣ = eˣ · (x² − 2x + 2x − 2) = eˣ · (x² − 2).
Comme eˣ > 0 sur ℝ, le signe de f'(x) est celui de x² − 2 :
| x | −∞ | −√2 | √2 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 − | 0 + | |
| f(x) | 0 ↗ | f(−√2) ↘ | f(√2) ↗ | +∞ |
Calculs des extrema :
| x | −3 | −1,4 | 0 | 1 | 1,4 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0,75 | 1,17 | 0 | −2,72 | −3,41 | 0 | 60,3 |
La courbe coupe l'axe des abscisses en x = 0 et x = 2 (racines de x² − 2x). Elle présente un maximum local en x = −√2 puis un minimum local en x = √2, avant de croître exponentiellement vers +∞.
Selon le programme officiel MESTFP — Terminale D, l'étude de fonction est l'exercice central de l'épreuve de mathématiques : il compte pour 25 à 35 % du barème total.
Source : www.gouv.bj/ministere/MESTFP/
Solution générale : y(x) = K · e^(a·x), où K est déterminée par les conditions initiales.
Applications biologiques (typiques série D) :
Solution générale : y(x) = K · e^(a·x) − b/a.
Un café à 80°C est posé dans une pièce à 22°C. Sa température T(t) vérifie : T'(t) = −0,05 · (T(t) − 22).
Posons U(t) = T(t) − 22. Alors U'(t) = −0,05 · U(t), donc U(t) = K · e^(−0,05·t).
Condition initiale : U(0) = 80 − 22 = 58, donc K = 58.
D'où T(t) = 22 + 58 · e^(−0,05·t).
Au bout de 10 minutes : T(10) = 22 + 58 · e^(−0,5) ≈ 22 + 35,2 ≈ 57,2 °C.
Temps pour atteindre 30°C : 30 = 22 + 58·e^(−0,05t) ⇒ e^(−0,05t) = 8/58 ⇒ t = ln(58/8)/0,05 ≈ 39,6 min.
Densité : f(x) = (1/(σ·√(2π))) · e^(−(x−μ)²/(2σ²)).
Espérance = μ ; écart-type = σ.
Tables de la loi normale centrée réduite N(0,1) à connaître :
| P(Z ≤ z) | z | Interprétation |
|---|---|---|
| 0,5000 | 0 | Moitié de la population |
| 0,8413 | 1 | μ + 1σ |
| 0,9772 | 2 | μ + 2σ — 97,7 % |
| 0,9987 | 3 | μ + 3σ — règle des 3-sigma |
| 0,9500 | 1,645 | seuil 95 % unilatéral |
| 0,9750 | 1,96 | seuil 95 % bilatéral (intervalles de confiance) |
X suit Exp(λ) si P(X > x) = e^(−λx) pour x ≥ 0.
E(X) = 1/λ ; V(X) = 1/λ².
Applications : durée de vie d'un composant, intervalle entre deux événements rares (séismes, désintégrations).
À l'accueil du CNHU de Cotonou, le temps d'attente entre deux patients suit Exp(λ = 0,1 /min). Probabilité d'attendre plus de 15 min ?
P(X > 15) = e^(−0,1 × 15) = e^(−1,5) ≈ 0,223 ou 22,3 %.
Temps moyen d'attente : E(X) = 1/0,1 = 10 min.
Soient u(x;y;z) et v(x';y';z') deux vecteurs. Alors :
u·v = xx' + yy' + zz' et u·v = ‖u‖ · ‖v‖ · cos(θ), θ étant l'angle entre les deux vecteurs.
Critère d'orthogonalité : u ⊥ v ⇔ u·v = 0.
Le barycentre G de n points pondérés (Aᵢ, αᵢ) — avec Σαᵢ ≠ 0 — vérifie :
OG = (1/Σαᵢ) · Σ αᵢ · OAᵢ.
Application au triangle : barycentre des sommets affectés des coefficients 1 = centre de gravité du triangle.
On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x) = ln(1 + e^x).
1. Montrer que g est strictement croissante sur ℝ.
2. Calculer la limite de g en +∞ et en −∞.
3. Montrer que g(x) ~ x quand x → +∞ et que g(x) ~ e^x quand x → −∞.
4. Tracer la courbe de g et ses deux asymptotes obliques.
Corrigé synthétique :
1) g'(x) = e^x / (1 + e^x). Comme e^x > 0 et 1 + e^x > 0, alors g'(x) > 0 sur ℝ. g est strictement croissante. ✔
2) En +∞ : 1 + e^x ~ e^x donc g(x) ~ ln(e^x) = x → +∞. En −∞ : e^x → 0, donc 1 + e^x → 1, donc g(x) → ln(1) = 0. ✔
3) En +∞, g(x) − x = ln(1 + e^x) − x = ln((1 + e^x)/e^x) = ln(e^(−x) + 1) → ln(1) = 0. Donc y = x est asymptote oblique. En −∞, g(x) − e^x : par DL₁, ln(1 + u) ≈ u quand u → 0, donc g(x) ≈ e^x. ✔
Selon l'Université d'Abomey-Calavi — Faculté des Sciences et Techniques (FAST), « la maîtrise des outils d'analyse et de probabilités conditionne directement la réussite des deux premières années de licence en biologie, chimie et physique ».
Source : www.uac.bj/fast
Une primitive F d'une fonction f est une fonction telle que F'(x) = f(x). Les primitives diffèrent d'une constante : F(x) + C.
L'intégrale définie de f sur [a, b] est :
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) (formule de Newton-Leibniz).
| f(x) | F(x) | Domaine |
|---|---|---|
| xn (n ≠ −1) | xn+1/(n+1) | ℝ |
| 1/x | ln|x| | ℝ* |
| ex | ex | ℝ |
| cos(x) | sin(x) | ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | ℝ |
| 1/(1+x²) | arctan(x) | ℝ |
Formule : ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx.
Très utile pour intégrer des produits où une fonction se « simplifie » par dérivation (polynôme) et où l'autre s'intègre simplement (ex, cos, sin).
Posons u = x (u' = 1) et v' = eˣ (v = eˣ).
∫₀¹ x·eˣ dx = [x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = (1·e − 0) − (e − 1) = e − e + 1 = 1.
L'intégrale ∫ab f(x) dx représente l'aire algébrique entre la courbe de f et l'axe (Ox) sur [a, b].
Application — croissance bactérienne : Si N(t) est l'effectif d'une colonie au temps t, la moyenne sur [0, T] est :
N̄ = (1/T) · ∫₀T N(t) dt.
Soit (un) une suite définie par un+1 = f(un). Si :
Alors L vérifie l'équation du point fixe : f(L) = L.
Théorème : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
1) f(x) = √(2 + x), définie sur [−2; +∞[.
2) Étude de signe : un+1 − un = √(2 + un) − un. En posant g(x) = √(2 + x) − x, g(2) = 0 et g'(x) = 1/(2√(2+x)) − 1 < 0 pour x > −7/4. Donc g décroissante.
3) On démontre par récurrence que 0 ≤ un ≤ 2 et un+1 ≥ un. La suite est croissante majorée.
4) Limite L : L = √(2 + L) ⇒ L² = 2 + L ⇒ L² − L − 2 = 0 ⇒ (L−2)(L+1) = 0 ⇒ L = 2 (car L ≥ 0).
En sciences expérimentales et médicales, on caractérise une série de mesures par :
Indispensable pour l'analyse de résultats expérimentaux en SVT et chimie.
1. Calculer la limite de h(x) en 0⁺. Réponse : lim x·ln(x) = 0 (croissance comparée). On peut prolonger h par continuité en 0 en posant h(0) = 0.
2. Calculer h'(x). Réponse : h'(x) = ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1.
3. Étudier le signe de h'(x). Réponse : h'(x) = 0 ⇔ ln(x) = −1 ⇔ x = 1/e. h'(x) < 0 sur ]0; 1/e[, h'(x) > 0 sur ]1/e; +∞[. Donc h admet un minimum en x = 1/e : h(1/e) = (1/e) · ln(1/e) = −1/e ≈ −0,368.
4. Limite en +∞ : lim h(x) = +∞.
5. Aire sous la courbe entre 0 et 1 : ∫₀¹ x·ln(x) dx. Par IPP : u = ln(x), v' = x ; u' = 1/x, v = x²/2.
∫ = [x²·ln(x)/2]₀¹ − ∫₀¹ (x²/2)·(1/x) dx = 0 − [x²/4]₀¹ = −1/4.
L'aire algébrique est négative car la courbe est sous l'axe sur ]0; 1[.
Selon le rapport pédagogique DEC 2023 — épreuve de mathématiques BAC D, les copies les mieux notées présentent systématiquement : (1) un tableau de variations clair avec les zéros de la dérivée, (2) des calculs de limites justifiés (croissance comparée, théorème des gendarmes), (3) une rédaction propre avec « donc », « ainsi », « par suite ».
Source : Rapport DEC 2023 — MESTFP Bénin.
Un plan P passant par A(x_A; y_A; z_A) et de vecteur normal n(a; b; c) a pour équation :
a·(x − x_A) + b·(y − y_A) + c·(z − z_A) = 0, soit ax + by + cz + d = 0 avec d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A).
Une droite passant par A et dirigée par u(α; β; γ) :
x = x_A + t·α ; y = y_A + t·β ; z = z_A + t·γ, où t ∈ ℝ.
d(M, P) = |a·x_M + b·y_M + c·z_M + d| / √(a² + b² + c²).
Soit le plan P : 2x − y + 2z − 6 = 0 et le point M(3; 1; 0).
d(M, P) = |2·3 − 1 + 2·0 − 6| / √(4+1+4) = |6 − 1 − 6| / 3 = 1/3 ≈ 0,333.
Dans le secteur agricole béninois, les probabilités servent à modéliser les rendements aléatoires. Exemple : la production de coton dans le Borgou suit approximativement une loi normale N(μ = 600 kg/ha, σ = 80 kg/ha).
Question : Quel est le pourcentage de parcelles produisant entre 520 et 680 kg/ha ?
520 = μ − σ et 680 = μ + σ, donc l'intervalle [μ−σ ; μ+σ] contient ~68 % des observations (règle empirique 68-95-99,7).
Selon l'INStaD Bénin (Institut National de la Statistique et de l'Analyse Démographique), l'analyse statistique des rendements agricoles permet d'orienter les politiques publiques de soutien (subventions, semences améliorées, irrigation) vers les zones à plus forte variabilité.
Source : instad.bj.
Une parcelle produit u₀ = 500 kg la première année. Chaque année, la production augmente de 5 % grâce aux engrais. Soit un la production l'année (n + 1).
1. Exprimer un+1 en fonction de un. Réponse : un+1 = 1,05 · un (suite géométrique de raison q = 1,05).
2. Exprimer un en fonction de n. Réponse : un = 500 · 1,05n.
3. Calculer u₁₀. Réponse : u₁₀ = 500 × 1,05¹⁰ ≈ 500 × 1,629 ≈ 814 kg.
4. Au bout de combien d'années la production aura doublé ? Réponse : 1,05n = 2 ⇒ n·ln(1,05) = ln(2) ⇒ n = ln(2)/ln(1,05) ≈ 0,693/0,0488 ≈ 14,2 ans.
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