1. Programme officiel et structure de l'épreuve

L'épreuve de Mathématiques du BAC S Mali dure 4 heures (coefficient 5 en S1, 4 en S2). Elle comporte typiquement 4 exercices de difficulté croissante couvrant les domaines suivants : analyse (fonctions, intégrales, équations différentielles), suites et récurrence, probabilités et statistiques, géométrie dans le plan ou l'espace (nombres complexes, vecteurs, droites, plans).

« Les mathématiques de Terminale S visent à doter l'élève d'outils rigoureux d'analyse et de modélisation, prérequis pour les filières STEM. » — Programme officiel MEN/DNEN, Mathématiques Terminale S.

2. Analyse — fonctions exponentielle et logarithme

2.1 La fonction exponentielle

La fonction exp(x) est l'unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f'(x) = f(x) et f(0) = 1. Ses propriétés fondamentales : exp(a+b) = exp(a) × exp(b), exp(-x) = 1/exp(x), exp(x) > 0 pour tout x. Limites : lim(x→+∞) exp(x) = +∞, lim(x→-∞) exp(x) = 0.

3.2 La fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien ln(x) est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0;+∞[. Propriétés : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n·ln(a). Limites : lim(x→+∞) ln(x) = +∞, lim(x→0+) ln(x) = -∞.

3. Intégration — méthodes

• Intégration par parties : ∫u'v dx = uv - ∫uv' dx (utile pour ∫x·exp(x) dx, ∫x·ln(x) dx)
• Changement de variable : poser t = g(x), dt = g'(x) dx
• Primitives usuelles : ∫x^n = x^(n+1)/(n+1), ∫1/x = ln|x|, ∫exp(x) = exp(x), ∫cos(x) = sin(x)

4. Suites numériques

Les suites récurrentes u_(n+1) = f(u_n) constituent un classique du BAC S. Méthodes essentielles :

• Suite arithmétique : u_n = u_0 + n·r, somme S_n = (n+1)(u_0+u_n)/2
• Suite géométrique : u_n = u_0 · q^n, somme S_n = u_0(1-q^(n+1))/(1-q) si q ≠ 1
• Démonstration par récurrence : initialisation P(0) vraie + hérédité P(n) ⇒ P(n+1)
• Convergence : si la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), elle converge

5. Probabilités et statistiques

5.1 Probabilités conditionnelles et indépendance

P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Formule de probabilités totales : P(A) = ΣP(A|B_i)·P(B_i). Théorème de Bayes : P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A).

5.2 Lois usuelles

• Loi binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k), espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1-p)
• Loi normale N(μ,σ²) : intervalles de fluctuation et confiance au seuil 95 %

6. Nombres complexes

Un nombre complexe z = a + ib où i² = -1. Module : |z| = √(a²+b²). Argument : arg(z) = θ tel que cos θ = a/|z|, sin θ = b/|z|. Forme exponentielle : z = |z|·e^(iθ). Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ).

7. Géométrie dans l'espace

• Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0
• Équation paramétrique d'une droite : passe par A, dirigée par u
• Produit scalaire dans l'espace : u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
• Distance point-plan : d = |ax_M + by_M + cz_M + d|/√(a²+b²+c²)

Points-clés à retenir

• 4 exercices indépendants en 4 h, choisir l'ordre de traitement selon ses forces
• Fonctions exp/ln : propriétés algébriques + limites
• Intégration par parties : ∫u'v = uv - ∫uv'
• Récurrence : initialisation + hérédité + conclusion
• Loi binomiale : E = np, V = np(1-p)
• Complexe : forme algébrique + module + argument
• Justifier chaque calcul, citer les théorèmes utilisés

Pour aller plus loin

• Programme officiel Maths Terminale S — MEN Mali
• Annales corrigées BAC S — CNECE
• Khan Academy — cours mathématiques niveau Terminale

Exercices résolus — Analyse (Terminale S Mali)

Exercice résolu 1 — Étude complète d'une fonction rationnelle

Soit la fonction f(x) = (x² - 3x + 2) / (x - 1), définie sur D = ℝ \ {1}.

Étape 1 — Simplification. On factorise le numérateur : x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2). Donc pour x ≠ 1 :

f(x) = (x-1)(x-2) / (x-1) = x - 2

Étape 2 — Domaine et asymptotes. La fonction f est définie sur D = ℝ \ {1}. En x = 1, on a un trou (pas une asymptote verticale, juste un point manquant — la limite à gauche et à droite donne f(1) = -1).

Étape 3 — Dérivée. Sur D, f(x) = x - 2, donc f'(x) = 1 > 0 partout. La fonction est strictement croissante sur ]-∞, 1[ et sur ]1, +∞[.

Étape 4 — Tableau de variation :

Exercice résolu 2 — Démonstration par récurrence

Énoncé. Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 :

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Étape 1 — Initialisation (n = 1). Pour n = 1 : membre de gauche = 1, membre de droite = 1×2/2 = 1. ✓ L'égalité est vraie au rang n = 1.

Étape 2 — Hérédité. Supposons l'égalité vraie au rang n (hypothèse de récurrence HR) :

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

Montrons-la au rang n+1, c'est-à-dire que 1 + 2 + ... + n + (n+1) = (n+1)(n+2)/2.

On part du membre de gauche :

1 + 2 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1)   (par HR)
= (n+1) × [n/2 + 1]
= (n+1) × [(n+2)/2]
= (n+1)(n+2)/2 ✓

Étape 3 — Conclusion. L'égalité est vraie au rang 1 et est héréditaire. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout n ≥ 1. ∎

Exercice résolu 3 — Étude complète d'une fonction exponentielle

Soit g(x) = (x² - 1) × e^(-x), définie sur ℝ.

1) Limites aux bornes.

• En +∞ : x² × e^(-x) → 0 (croissance comparée). Donc lim g(x) = 0.
• En -∞ : x² → +∞ et e^(-x) → +∞, donc lim g(x) = +∞.

2) Dérivée. Par la règle du produit (u'v + uv') :

g'(x) = 2x × e^(-x) + (x² - 1) × (-e^(-x))
= e^(-x) × [2x - x² + 1]
= e^(-x) × [-x² + 2x + 1]

3) Signe de g'(x). Comme e^(-x) > 0 toujours, le signe de g'(x) est celui de P(x) = -x² + 2x + 1.
Discriminant : Δ = 4 + 4 = 8, racines x = (2 ± 2√2) / (-2) = -1 ± √2.

Donc P(x) > 0 entre les racines 1 - √2 ≈ -0,41 et 1 + √2 ≈ 2,41.

4) Tableau de variation :

Exercice résolu — Équation différentielle linéaire 1er ordre

Énoncé. Résoudre l'équation différentielle y' + 2y = 4x + 6 sur ℝ, avec la condition initiale y(0) = 5.

Étape 1 — Solution de l'équation homogène associée. L'équation homogène est y'_h + 2y_h = 0, dont les solutions sont y_h(x) = K × e^(-2x) avec K ∈ ℝ.

Étape 2 — Recherche d'une solution particulière. Comme le second membre est un polynôme de degré 1, on cherche une solution particulière sous la forme y_p(x) = ax + b.

Alors y'_p = a et l'équation devient : a + 2(ax + b) = 4x + 6, soit 2ax + (a + 2b) = 4x + 6.

Par identification : 2a = 4 donne a = 2, et a + 2b = 6 donne 2b = 4, soit b = 2.

Solution particulière : y_p(x) = 2x + 2.

Étape 3 — Solution générale. y(x) = y_h(x) + y_p(x) = K × e^(-2x) + 2x + 2.

Étape 4 — Application de la condition initiale. y(0) = K + 0 + 2 = 5, donc K = 3.

Solution finale : y(x) = 3 × e^(-2x) + 2x + 2. ∎

Nombres complexes — applications géométriques

Rappels et formules essentielles

Exercice résolu — Rotation dans le plan complexe

Énoncé. Soit le point M d'affixe z = 1 + i√3. Trouve l'affixe z' du point M' obtenu en faisant subir à M une rotation de centre O et d'angle π/3.

Méthode. Une rotation de centre O et d'angle θ correspond à la multiplication par e^(iθ). Donc z' = z × e^(iπ/3).

Forme exponentielle de z : |z| = √(1 + 3) = 2, arg(z) = arctan(√3/1) = π/3. Donc z = 2 × e^(iπ/3).

Alors : z' = 2 × e^(iπ/3) × e^(iπ/3) = 2 × e^(i2π/3) = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 2(-1/2 + i × √3/2) = -1 + i√3.

Donc M' = (-1 ; √3).

Probabilités — exercice complet résolu

Énoncé. Un sac contient 4 boules rouges et 6 boules blanches. On tire successivement et sans remise 3 boules. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouges obtenues.

1) Détermine la loi de probabilité de X.
2) Calcule E(X) et V(X).

Résolution. X suit une loi hypergéométrique de paramètres (N=10, K=4, n=3). Les valeurs possibles sont X ∈ {0, 1, 2, 3}.

Formule : P(X=k) = C(K,k) × C(N-K, n-k) / C(N, n)

Avec C(10,3) = 120 au dénominateur :

Vérification : 1/6 + 1/2 + 3/10 + 1/30 = 5/30 + 15/30 + 9/30 + 1/30 = 30/30 = 1 ✓

Espérance : E(X) = 0×(1/6) + 1×(1/2) + 2×(3/10) + 3×(1/30) = 0 + 0,5 + 0,6 + 0,1 = 1,2

Vérification théorique loi hypergéométrique : E(X) = nK/N = 3×4/10 = 1,2 ✓

Variance : V(X) = nK(N-K)(N-n) / [N²(N-1)] = 3×4×6×7 / (100×9) = 504/900 = 0,56

Sujet type BAC Mali — exercice de synthèse résolu

Pour aller plus loin

• Annales BAC Mali — CNECE
• Khan Academy France — Mathématiques Terminale
• PhET Colorado — Simulations interactives (en français)
• MIT OpenCourseware — Single Variable Calculus (gratuit)

Géométrie dans l'espace — exercices ciblés BAC S Mali

Exercice résolu — Distance point-plan

Soit le plan (P) : 2x - y + 2z - 5 = 0 et le point A(1, 3, 2). Calculer la distance d(A, P).

Formule officielle : d(A, P) = |2x_A - y_A + 2z_A - 5| / √(2² + 1² + 2²) = |2 - 3 + 4 - 5| / √9 = 2/3 unités.

Exercice résolu — Intersection droite/plan

Soit la droite D : (x ; y ; z) = (1+t ; 2-t ; 3+2t) et le plan (P) : x + y + z = 10. Trouver le point d'intersection.

Substitution : (1+t) + (2-t) + (3+2t) = 10, soit 6 + 2t = 10, donc t = 2. Le point d'intersection est I(3, 0, 7).

Suites numériques — exemples BAC

Suite arithmético-géométrique

Soit la suite définie par u_0 = 1 et u_(n+1) = 2u_n + 3 pour n ≥ 0.

Méthode : chercher le point fixe ℓ : ℓ = 2ℓ + 3 ⇔ ℓ = -3.

Posons v_n = u_n + 3. Alors v_(n+1) = u_(n+1) + 3 = 2u_n + 3 + 3 = 2(u_n + 3) = 2v_n. Donc (v_n) est géométrique de raison 2.

Conclusion : v_n = v_0 × 2^n = 4 × 2^n, donc u_n = 4 × 2^n - 3 = 2^(n+2) - 3.

Pour aller plus loin

• CNECE — Annales Mathématiques BAC S
• Maths-France — Annales corrigées Terminale