1. Analyse — Fonctions et limites

L'étude d'une fonction numérique f définie sur un intervalle I suit un protocole rigoureux exigé par le barème MENAPLN. Soit f(x) = (x² - 3x + 2) / (x - 1) sur ℝ\{1}. Domaine : Df = ]-∞;1[ ∪ ]1;+∞[. Limites : lim(x→1) f(x) après simplification = -1 (on factorise au numérateur (x-1)(x-2)). Donc f admet un prolongement par continuité en 1.

Dérivée et variations

Pour f(x) = e^x · sin(x) sur [0;π], f'(x) = e^x(sin x + cos x). f'(x) = 0 ⟺ tan x = -1 ⟺ x = 3π/4. Tableau de variation : f croissante sur [0;3π/4], décroissante sur [3π/4;π]. Maximum f(3π/4) = e^(3π/4) × √2/2.

2. Calcul intégral

L'intégration par parties (IPP) : ∫u'v dx = [uv] - ∫uv' dx. Exemple : ∫₀¹ x·e^x dx. On pose u' = e^x, v = x → u = e^x, v' = 1. Donc ∫ = [x·e^x]₀¹ - ∫₀¹ e^x dx = e - (e-1) = 1.

Aire sous une courbe

L'aire entre la courbe de f(x) = ln x et l'axe Ox sur [1;e] vaut ∫₁^e ln x dx = [x·ln x - x]₁^e = (e - e) - (0 - 1) = 1 unité d'aire.

3. Suites numériques

Soit (uₙ) définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = (uₙ + 3) / 2. Démonstration par récurrence que uₙ ≤ 3 : initialisation u₀ = 2 ≤ 3 ✓. Hérédité : si uₙ ≤ 3, alors uₙ₊₁ = (uₙ+3)/2 ≤ 6/2 = 3 ✓. La suite est croissante (étude de uₙ₊₁ - uₙ = (3-uₙ)/2 ≥ 0) et majorée → convergente vers l = (l+3)/2 ⟺ l = 3.

4. Probabilités

Loi binomiale B(n;p) : P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k). Exemple Burkina : dans un sondage à Ouagadougou, 30% des élèves de Terminale D visent la médecine. Sur n=10 élèves tirés au hasard, probabilité qu'exactement 3 visent médecine : P(X=3) = C(10,3) × 0,3³ × 0,7⁷ = 120 × 0,027 × 0,0824 ≈ 0,267.

5. Géométrie dans l'espace

Repère orthonormé (O, i, j, k). Plan P : 2x - y + 3z - 5 = 0, vecteur normal n(2;-1;3). Distance du point A(1;2;-1) au plan : d(A,P) = |2-2-3-5| / √(4+1+9) = 8/√14 ≈ 2,14 unités.

6. Équations différentielles

Équation y' + 2y = 6. Solution générale : y(x) = K·e^(-2x) + 3, K ∈ ℝ. Condition initiale y(0) = 5 : K = 2 → y(x) = 2e^(-2x) + 3.

Synthèse

• Étude fonction = domaine + limites + dérivée + tableau + asymptotes
• IPP : choisir u' facile à intégrer, v facile à dériver
• Récurrence : initialisation + hérédité + conclusion
• Binomiale = épreuves indépendantes répétées
• Plan en géométrie : vecteur normal donne tout

Pour aller plus loin

• Annales Maths BAC D 2020-2025 — Office du Baccalauréat Burkina
• Manuel CIAM Terminale D (CEPED, manuel officiel MENAPLN)
• Programmes officiels MENAPLN