1. Format de l'épreuve

L'épreuve dure 4 heures, coefficient 4. Elle comporte généralement 3 exercices indépendants (10-15 points) et 1 problème en deux parties (5-10 points). La calculatrice scientifique non programmable est autorisée.

2. Suites numériques

Une suite (u_n) est arithmétique de raison r si u_n+1 = u_n + r. Sa somme : S_n = n × (u₁ + u_n)/2.

Une suite est géométrique de raison q si u_n+1 = q · u_n. Sa somme : S_n = u₁ · (1 − qⁿ)/(1 − q) si q ≠ 1.

La récurrence est l'outil-clé : si P(n) est vraie au rang initial ET si P(n) ⇒ P(n+1), alors P(n) est vraie pour tout n.

Convergence : une suite monotone et bornée converge. Une suite géométrique converge si |q|<1 (vers 0) ; diverge si |q|≥1 (sauf q=1).

3. Étude de fonction

Étapes obligatoires : (1) ensemble de définition, (2) limites aux bornes, (3) dérivée et signe, (4) tableau de variation, (5) asymptotes, (6) tracé de la courbe.

Dérivées usuelles à connaître : (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ ; (e^x)' = e^x ; (ln x)' = 1/x ; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = -sin x.

Règles : (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v² ; (u(v))' = v' · u'(v).

4. Intégration

Si F est une primitive de f, ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a). Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g. Intégration par parties : ∫u'v = [uv] − ∫uv'.

Aire sous une courbe positive = ∫_a^b f(x) dx en unités d'aire.

5. Probabilités

P(A∩B) = P(A)·P(B|A). Indépendance : P(A∩B) = P(A)·P(B).

Formule des probabilités totales : P(B) = Σ P(B|A_i)·P(A_i) où (A_i) partition de Ω.

Variable aléatoire discrète X : espérance E(X) = Σ x_i·P(X=x_i) ; variance V(X) = E(X²) − E(X)². Loi binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^n-k ; E(X) = np.

6. Géométrie dans l'espace

Repère (O, i, j, k). Un point M(x,y,z), un vecteur u(a,b,c). Produit scalaire : u·v = aa'+bb'+cc' = ||u||·||v||·cos(θ).

Équation d'un plan : ax + by + cz + d = 0 où (a,b,c) = vecteur normal. Distance point-plan : |aX+bY+cZ+d| / √(a²+b²+c²).

7. Synthèse

• Suites : maîtriser arithmétiques, géométriques et la récurrence.
• Fonctions : étude complète en 6 étapes systématiques.
• Intégration : utiliser primitives et IPP, calculer des aires.
• Probas : indépendance, total, espérance, loi binomiale.
• Géométrie : équation de plan + produit scalaire + distance.

Citations officielles & approfondissement

Selon le programme officiel de Mathématiques Terminale D (MENPC Tchad) : « L'élève doit maîtriser les outils de l'analyse réelle (limites, dérivées, intégrales), la formalisation probabiliste et la géométrie analytique de l'espace, en vue de la poursuite d'études scientifiques supérieures. »
Source : Programmes officiels du secondaire général MENPC, 2023.

Selon Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812) : « La théorie des probabilités n'est au fond que le bon sens réduit au calcul. Elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct. »
Source : Préface, Œuvres complètes, tome VII, Gauthier-Villars.

Selon le jury OBT — rapport 2022 : « Plus de 70 % des copies de Maths Terminale D perdent au moins 2 points sur la rédaction (justification absente d'un théorème invoqué) et sur les erreurs de calcul littéral, indépendamment de la maîtrise réelle des concepts. »
Source : Rapport des correcteurs, OBT, session 2022.

Approfondissement des suites numériques

Suite récurrente d'ordre 1

Soit (u_n) une suite définie par u₀ donné et u_n+1 = f(u_n). On étudie souvent ces suites pour modéliser des phénomènes biologiques (populations), économiques (épargne avec intérêts) ou physiques (refroidissement).

Méthode-type d'étude :

1. Calculer les premiers termes (u₀, u₁, u₂, u₃) pour conjecturer le sens de variation.
2. Démontrer par récurrence le sens de variation (croissante / décroissante).
3. Démontrer que la suite est minorée ou majorée.
4. Conclure : monotone + bornée ⇒ convergente.
5. Si la limite existe : l = f(l) ⇒ résoudre l'équation des points fixes.

Démonstration par récurrence — méthode rigoureuse

Pour démontrer une propriété P(n) pour tout entier n ≥ n₀ :

• Initialisation : vérifier que P(n₀) est vraie (calculer explicitement).
• Hérédité : supposer P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀, et démontrer que P(n+1) l'est aussi.
• Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Étude complète d'une fonction

Plan d'étude en 8 points

1. Ensemble de définition D_f — conditions d'existence (dénominateur non nul, racine ≥ 0, log > 0).
2. Continuité et dérivabilité sur D_f.
3. Limites aux bornes de D_f (en ±∞ et aux points d'exclusion).
4. Asymptotes verticales, horizontales, obliques.
5. Dérivée f'(x) et son signe.
6. Tableau de variation complet avec valeurs extrêmes.
7. Points particuliers : intersections avec les axes, points d'inflexion.
8. Tracé de la courbe représentative C_f.

Théorèmes-clés à connaître

• Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a,b] et k est compris entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k.
• Théorème de la bijection : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I sur f(I).
• Théorème de Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0.
• Théorème des accroissements finis (TAF) : il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b) - f(a) = (b-a) · f'(c).

Calcul intégral

Primitives usuelles

Techniques d'intégration

Intégration par parties (IPP) : ∫ u'(x)·v(x) dx = [u(x)·v(x)] - ∫ u(x)·v'(x) dx.

Mnémonique du choix u et v' : LIATE (Logarithme, Inverse trigo, Algébrique, Trigo, Exponentielle) — préférer u dans cet ordre.

Changement de variable : poser t = g(x), alors dt = g'(x) dx. Permet de transformer une intégrale en une autre plus simple.

Probabilités — approfondissement

Probabilités conditionnelles et théorème de Bayes

La formule de Bayes permet d'inverser une probabilité conditionnelle :

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

Application typique : tests de dépistage médical. Si un test détecte une maladie avec 95 % de sensibilité et 90 % de spécificité, et si la maladie touche 1 % de la population, quelle est la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif ?

Lois discrètes principales

• Loi uniforme sur {1, ..., n} : P(X=k) = 1/n. E(X) = (n+1)/2.
• Loi de Bernoulli B(p) : P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p. E(X) = p, V(X) = p(1-p).
• Loi binomiale B(n,p) : somme de n Bernoulli indépendantes. P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^n-k. E(X) = np, V(X) = np(1-p).
• Loi géométrique G(p) : nombre d'essais avant le 1er succès. P(X=k) = (1-p)^k-1·p. E(X) = 1/p.

Géométrie dans l'espace

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite dans l'espace passant par A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a, b, c) admet la représentation paramétrique :

x = x_A + t·a, y = y_A + t·b, z = z_A + t·c, avec t ∈ ℝ.

Distance d'un point à un plan

Distance du point M(x₀, y₀, z₀) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 :

d(M, P) = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Produit vectoriel

Le produit vectoriel u ∧ v de deux vecteurs donne un vecteur orthogonal aux deux, dont la norme vaut ||u||·||v||·sin(θ). Utile pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs.

Synthèse étendue

• Suites : étude par récurrence (initialisation + hérédité + conclusion).
• Fonction : 8 points (Df, dérivée, signe, variation, asymptotes, intersections, courbe).
• TVI, bijection, Rolle, TAF : théorèmes-clés du programme.
• Primitives usuelles + IPP (mnémonique LIATE) + changement de variable.
• Probabilités : Bayes, lois discrètes (uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique).
• Géométrie : représentation paramétrique, distance point-plan, produit vectoriel.

Pour aller plus loin

• MENPC — Programme Maths Terminale D
• Annales OBT 2020-2024 Mathématiques