Chapitre 2 — Mathématiques série D
Fonctions, suites numériques, probabilités, géométrie dans l'espace.
Objectifs pédagogiques
- Maîtriser l'étude complète d'une fonction (limites, dérivée, sens de variation, tableau, courbe)
- Calculer une primitive et une intégrale
- Étudier une suite numérique (récurrence, monotonie, limite, somme)
- Résoudre des problèmes de probabilités et statistiques
- Appliquer la géométrie dans l'espace (vecteurs, plans, droites)
1. Structure de l'épreuve
Durée : 4 heures, coefficient 4. L'épreuve comprend typiquement 3 exercices indépendants (sur 4-5 points chacun) et 1 problème de synthèse (8-10 points) intégrant fonctions et géométrie.
2. Étude de fonction (10 points en moyenne)
2.1 Plan-type d'étude
- Domaine de définition Df et continuité
- Limites aux bornes du domaine (∞, points particuliers)
- Dérivée f'(x), étude du signe
- Tableau de variations (avec limites)
- Asymptotes (verticales, horizontales, obliques)
- Points particuliers (extrema, points d'inflexion, intersections avec les axes)
- Tracé de la courbe (repère orthonormé)
2.2 Exemple : f(x) = (x² + 1) / x
- Df = ℝ* (réels privés de 0)
- f'(x) = (x² − 1)/x² = (x − 1)(x + 1)/x²
- f'(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ou x ≥ 1
- Maximum local en x = −1 : f(−1) = −2
- Minimum local en x = 1 : f(1) = 2
- Asymptote oblique y = x (car f(x) − x = 1/x → 0 à l'∞)
3. Primitives et intégrales
| Fonction f(x) | Primitive F(x) |
|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | x^(n+1)/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| sin(x) | −cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
Théorème fondamental : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). L'intégrale calcule l'aire algébrique sous la courbe.
4. Suites numériques
4.1 Suite arithmétique
uₙ₊₁ = uₙ + r → terme général : uₙ = u₀ + nr. Somme : Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2.
4.2 Suite géométrique
uₙ₊₁ = q × uₙ → uₙ = u₀ × qⁿ. Somme : Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) si q ≠ 1.
4.3 Convergence
Une suite (uₙ) converge vers L si pour tout ε > 0, il existe N tel que |uₙ − L| < ε pour n ≥ N. Par exemple, qⁿ → 0 si |q| < 1.
5. Probabilités
5.1 Probabilité conditionnelle
P(A|B) = P(A∩B) / P(B), pour P(B) ≠ 0.
5.2 Formule des probabilités totales
Si (B₁, B₂, …, Bₙ) forme une partition de Ω : P(A) = Σ P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ).
5.3 Loi binomiale
X ~ B(n, p) : P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ. Espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1−p).
Cas pratique : probabilités
Une urne contient 5 boules blanches et 3 noires. On tire 4 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 blanches ?
Réponse : P(2B) = [C(5,2) × C(3,2)] / C(8,4) = (10 × 3) / 70 = 30/70 ≈ 0,43.
6. Géométrie dans l'espace
- Vecteur AB : composantes (xB − xA, yB − yA, zB − zA)
- Distance AB = √[(xB−xA)² + (yB−yA)² + (zB−zA)²]
- Produit scalaire : u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
- Vecteurs orthogonaux : u · v = 0
- Équation d'un plan : ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) est le vecteur normal
Pièges fréquents : oublier les conditions d'existence (logarithme, racine carrée, fractions). Confondre dérivée et primitive. Négliger le signe dans les inégalités. Ne pas vérifier ses calculs (faux signe = -2 points en moyenne).
Selon le programme officiel du MEPSTA Togo, « l'épreuve de Mathématiques de la série D évalue la maîtrise des techniques de calcul, la rigueur de raisonnement et la capacité à modéliser des situations concrètes par des outils mathématiques. »
Source : education.gouv.tg (consultée le 2026-05-27).
7. Synthèse
- Étude de fonction = 10 points en moyenne
- Primitives, intégrales, suites = blocs récurrents
- Probas : binomiale, conditionnelles, totales
- Géométrie 3D : vecteurs, plans, distances
- Vérifier toujours les conditions d'existence
8. Pour aller plus loin
