Analyse (limites, dérivées, intégrales), géométrie dans l'espace et probabilités.
4 heures, coefficient 4. Trois exercices indépendants + un problème final (analyse de fonction le plus souvent). Calculatrice non programmable autorisée.
Soit f(x) = (2x² + x − 1)/(x − 1). Limite quand x → 1 ? On factorise le numérateur : 2x² + x − 1 = (x − 1)(2x + 3) (à vérifier). Donc f(x) = 2x + 3 pour x ≠ 1, et limx→1 f(x) = 5.
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) ; ∫ 1/x dx = ln|x| + C ; ∫ eˣ dx = eˣ + C ; ∫ cos x dx = sin x + C.
Intégration par parties : ∫ u'v = [uv] − ∫ uv'.
Domaine : ℝ \ {1}. Asymptote verticale en x = 1. Asymptote oblique : division → f(x) = x + 1 − 3/(x − 1), donc y = x + 1.
Dérivée : f'(x) = (2x(x−1) − (x²−4))/(x−1)² = (x² − 2x + 4)/(x−1)². Discriminant Δ = 4 − 16 = −12 < 0 → f' > 0 toujours. Fonction strictement croissante sur chaque intervalle de son domaine.
Repère orthonormé (O, i, j, k). Vecteur AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Formule de Bayes : P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B).
L'étude de fonction est l'exercice le plus fréquent du BAC D (≈ 8 points sur 20 dans l'épreuve). Maîtriser sa méthode rapporte des points faciles.
1. Domaine : D_f = ℝ \ {1}.
2. Limites :
3. Division euclidienne : x² + 1 = (x-1)(x+1) + 2, donc f(x) = x + 1 + 2/(x-1). Asymptote oblique : y = x + 1.
4. Dérivée : f'(x) = 1 - 2/(x-1)² = ((x-1)² - 2)/(x-1)². Annulation : (x-1)² = 2, soit x = 1±√2.
5. Tableau de variations : f' > 0 sur ]-∞, 1-√2[ et ]1+√2, +∞[, f' < 0 sur ]1-√2, 1[ et ]1, 1+√2[.
6. Extrema : max local en x = 1-√2 ; min local en x = 1+√2.
| Solide | Volume | Surface |
|---|---|---|
| Cube côté a | a³ | 6a² |
| Pavé droit a×b×c | abc | 2(ab+ac+bc) |
| Cylindre rayon r, hauteur h | πr²h | 2πr(r+h) |
| Cône | (1/3)πr²h | πr(r+√(r²+h²)) |
| Sphère | (4/3)πr³ | 4πr² |
| Pyramide base B, hauteur h | (1/3)Bh | variable |
P(A|B) = P(A∩B) / P(B). Formule de Bayes : P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B).
Indépendance : A et B indépendants ⟺ P(A∩B) = P(A)·P(B).
Une maladie touche 1 % de la population. Un test a une sensibilité de 95 % (détecte les malades) et une spécificité de 90 % (élimine les sains). Quelle est la probabilité d'être réellement malade quand le test est positif ?
Soit M = malade, T+ = test positif. P(M) = 0,01 ; P(T+|M) = 0,95 ; P(T+|M̄) = 0,10.
P(T+) = 0,95·0,01 + 0,10·0,99 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085
P(M|T+) = (0,95·0,01) / 0,1085 ≈ 8,8 % seulement ! Contre-intuitif.
| Angle (rad) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ | 0 |
Formules à connaître :
Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x² + 2.
1. Étudier les limites de f en +∞ et −∞.
2. Calculer f'(x) et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet trois solutions distinctes.
5. Tracer la courbe représentative.
1. lim(x→+∞) f(x) = +∞ (puisque x³ → +∞). lim(x→−∞) f(x) = −∞.
2. f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2). f' s'annule en x = 0 et x = 2. Signe : f'(x) > 0 sur ]−∞, 0[ ∪ ]2, +∞[ ; f'(x) < 0 sur ]0, 2[.
3. Tableau de variations : f est croissante sur ]−∞, 0], décroissante sur [0, 2], puis croissante sur [2, +∞[. f(0) = 2 (maximum local), f(2) = 8 − 12 + 2 = −2 (minimum local).
4. f est continue et change de signe : f(−1) = −1−3+2 = −2 < 0 ; f(0) = 2 > 0 (donc 1 racine entre −1 et 0). f(0) = 2 > 0 et f(2) = −2 < 0 (donc 1 racine entre 0 et 2). f(2) = −2 < 0 et f(3) = 27−27+2 = 2 > 0 (donc 1 racine entre 2 et 3). Total : 3 solutions distinctes.
5. Tracé : courbe en S avec extremum local en (0,2) et (2,−2).
Soit (uₙ) la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2.
1. Calculez u₁, u₂, u₃.
2. Démontrez par récurrence que uₙ ≥ 2 pour tout n.
3. Étudiez la monotonie de (uₙ).
4. Démontrez que (uₙ) converge et calculez sa limite.
1. u₁ = (2+3)/2 = 2,5 ; u₂ = (2,5+3)/2 = 2,75 ; u₃ = (2,75+3)/2 = 2,875.
2. Initialisation : u₀ = 2 ≥ 2. Hérédité : si uₙ ≥ 2, alors uₙ + 3 ≥ 5 donc uₙ₊₁ = (uₙ+3)/2 ≥ 5/2 = 2,5 ≥ 2.
3. uₙ₊₁ − uₙ = (uₙ + 3)/2 − uₙ = (3 − uₙ)/2. Si uₙ < 3, alors uₙ₊₁ > uₙ → suite croissante.
4. (uₙ) est croissante et majorée par 3 (à démontrer), donc converge. La limite L vérifie L = (L+3)/2, soit 2L = L+3, donc L = 3.
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. On tire successivement et sans remise 3 boules.
1. Quelle est la probabilité de tirer 3 boules rouges ?
2. Quelle est la probabilité de tirer au moins une boule rouge ?
3. Soit X la variable aléatoire « nombre de boules rouges tirées ». Donnez la loi de X.
4. Calculez E(X).
1. P(3 rouges) = (4/10) × (3/9) × (2/8) = 24/720 = 1/30 ≈ 0,033.
2. P(au moins 1 rouge) = 1 − P(0 rouge) = 1 − (6/10)(5/9)(4/8) = 1 − 120/720 = 1 − 1/6 = 5/6 ≈ 0,833.
3. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3. P(X=0) = 1/6 ; P(X=1) = 3·(4/10)(6/9)(5/8) = 360/720 = 1/2 ; P(X=2) = 3·(4/10)(3/9)(6/8) = 216/720 = 3/10 ; P(X=3) = 1/30.
4. E(X) = 0·(1/6) + 1·(1/2) + 2·(3/10) + 3·(1/30) = 0 + 0,5 + 0,6 + 0,1 = 1,2.
Dans un repère orthonormé, on considère A(1, 0, 2), B(3, 2, 1), C(0, 4, 3).
1. Calculez les coordonnées des vecteurs AB et AC.
2. Calculez le produit scalaire AB · AC.
3. Calculez les normes ||AB|| et ||AC||.
4. En déduire la mesure de l'angle BAC.
1. AB = (2, 2, −1) ; AC = (−1, 4, 1).
2. AB · AC = 2·(−1) + 2·4 + (−1)·1 = −2 + 8 − 1 = 5.
3. ||AB|| = √(4+4+1) = √9 = 3 ; ||AC|| = √(1+16+1) = √18 = 3√2.
4. cos(BAC) = 5 / (3 × 3√2) = 5 / (9√2) = 5√2 / 18 ≈ 0,393 → BAC ≈ 66,8°.
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| √x | 1/(2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| ln x | 1/x |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tan x | 1 + tan²x = 1/cos²x |
| f(x) | F(x) (primitive) |
|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/(1+x²) | arctan x + C |
Une entreprise fabrique des médicaments. Le coût de production C(x), pour x milliers d'unités, est donné par C(x) = 0,5x² + 30x + 1000 (en milliers de F CFA).
Le prix de vente unitaire est de 80 F CFA. Pour une production x, le chiffre d'affaires est R(x) = 80x (en milliers de F CFA).
1. Exprimez le bénéfice B(x) en fonction de x.
2. Étudiez les variations de B(x). Quel est le nombre d'unités à produire pour maximiser le bénéfice ?
3. Calculez ce bénéfice maximal.
1. B(x) = R(x) − C(x) = 80x − (0,5x² + 30x + 1000) = −0,5x² + 50x − 1000.
2. B'(x) = −x + 50. B'(x) = 0 ⟺ x = 50. B est croissant sur ]−∞, 50] et décroissant sur [50, +∞[. Le bénéfice est maximal pour 50 000 unités produites.
3. B(50) = −0,5·2500 + 50·50 − 1000 = −1250 + 2500 − 1000 = 250 milliers de F CFA = 250 000 F CFA.
eˣ = a ⟺ x = ln a (si a > 0)
aˣ = b ⟺ x = ln b / ln a
ln x = a ⟺ x = eᵃ
ln x + ln y = ln(xy)
ln x − ln y = ln(x/y)
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