BAC Série E — Sciences industrielles | Terminale E
À la fin de cette leçon, vous serez capable de :
Le programme de mathématiques de Terminale E s'inscrit dans le cadre réglementaire défini par le Ministère des Enseignements Secondaires (MINESEC) du Cameroun et sanctionné par l'Office du Baccalauréat du Cameroun (OBC). La série E — Sciences industrielles — prépare les élèves aux métiers de l'ingénierie, de la production industrielle et des technologies appliquées. À ce titre, le programme mathématique, tout en conservant une forte exigence théorique comparable à celle de la série C, intègre une dimension applicative orientée vers la résolution de problèmes techniques concrets.
Selon les directives officielles du MINESEC, l'épreuve de mathématiques au BAC série E est dotée d'un coefficient élevé (5 à 6 selon les années), reflétant l'importance de cette discipline dans la formation scientifique et technique. Le format de l'examen comprend des épreuves écrites obligatoires en Mathématiques, Physique-Chimie, SVT, Histoire-Géographie, Anglais et Français-Philosophie selon la série, complétées par une épreuve pratique d'EPS. La validation du diplôme requiert une moyenne générale d'au moins 10/20, conformément aux dispositions de l'Office du Baccalauréat du Cameroun (OBC).
Ce chapitre constitue le socle fondamental de votre préparation mathématique en Terminale E. Les trois grands domaines — Analyse, Algèbre et Géométrie dans l'espace — sont conçus pour vous fournir les outils théoriques et pratiques nécessaires à la résolution des problèmes d'ingénierie que vous rencontrerez tant à l'examen que dans votre future carrière professionnelle. Chaque thème est traité avec la rigueur exigée par le référentiel officiel, tout en privilégiant les applications industrielles spécifiques à votre série.
Définition normative MINESEC
L'analyse des fonctions réelles comprend l'étude des limites, de la continuité, de la dérivabilité, des variations, et de l'intégration. Ces concepts permettent de modéliser et d'optimiser des phénomènes physiques et industriels (trajectoires, rendements, coûts de production, etc.).
Les limites constituent le fondement de l'analyse. Pour une fonction f(x), on étudie son comportement lorsque x tend vers une valeur a (limite finie) ou vers l'infini. Les formes indéterminées (0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0×∞) nécessitent des techniques spécifiques : factorisation, quantités conjuguées, développements limités ou règle de L'Hospital.
La dérivation mesure le taux de variation instantané d'une fonction. Pour f dérivable en a, f'(a) = lim[h→0] [f(a+h)-f(a)]/h. Les applications industrielles sont nombreuses : vitesse instantanée (dérivée de la position), accélération (dérivée seconde), optimisation de coûts, calcul de rendement marginal. Vous devez maîtriser les formules de dérivation classiques ainsi que les dérivées composées (règle de la chaîne).
L'intégration représente l'opération inverse de la dérivation. Une primitive F de f vérifie F'(x) = f(x). L'intégrale définie ∫[a,b] f(x)dx calcule l'aire algébrique sous la courbe, avec des applications au calcul de volumes, de travaux mécaniques, de charges électriques cumulées, etc. Les méthodes d'intégration incluent : intégration par parties, changement de variable, décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles.
Définition normative MINESEC
Une équation différentielle est une équation reliant une fonction inconnue à ses dérivées successives. Les équations différentielles modélisent l'évolution de systèmes dynamiques : circuits électriques, systèmes mécaniques oscillants, refroidissement de corps, croissance de populations.
Les équations différentielles du 1er ordre se présentent sous la forme générale F(x, y, y') = 0. Les types au programme incluent :
Les équations différentielles du 2e ordre linéaires à coefficients constants ay'' + by' + cy = f(x) sont fondamentales en sciences industrielles. La méthode de résolution repose sur :
Applications typiques : oscillations mécaniques (masse-ressort-amortisseur), circuits RLC, systèmes asservis en automatique.
Définition normative MINESEC
Les nombres complexes étendent le corps des réels en introduisant l'unité imaginaire i vérifiant i² = -1. Tout nombre complexe z s'écrit sous forme algébrique z = a + ib (a, b ∈ ℝ), trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ), ou exponentielle z = re^(iθ).
Les opérations sur les complexes respectent les règles algébriques usuelles, avec i² = -1. L'addition et la multiplication s'effectuent naturellement en forme algébrique. La division nécessite la multiplication par le conjugué : z̄ = a - ib si z = a + ib.
La forme trigonométrique z = r(cos θ + i sin θ) facilite la multiplication et la puissance (formule de Moivre) : z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ). Le module r = |z| = √(a² + b²) représente la distance à l'origine, l'argument θ = arg(z) est l'angle avec l'axe réel positif.
La forme exponentielle z = re^(iθ), où e^(iθ) = cos θ + i sin θ (formule d'Euler), est particulièrement puissante pour :
Définition normative MINESEC
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Le calcul matriciel permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires, de modéliser des transformations géométriques, et de représenter des systèmes dynamiques en automatique et en mécanique.
Les opérations matricielles fondamentales incluent :
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire caractérisant l'inversibilité. Pour une matrice 2×2 : det(A) = ad - bc. Pour une matrice 3×3, on utilise le développement selon une ligne ou colonne. Propriétés essentielles : det(AB) = det(A)det(B), A inversible ⟺ det(A) ≠ 0.
Résolution de systèmes linéaires : Le système AX = B admet une solution unique X = A⁻¹B si det(A) ≠ 0. La matrice inverse se calcule via : A⁻¹ = (1/det(A)) × Com(A)ᵀ, où Com(A) est la comatrice. Applications : analyse de circuits électriques maillés (lois de Kirchhoff), équilibre de structures mécaniques, transformations de coordonnées.
Définition normative MINESEC
La géométrie dans l'espace traite des positions, distances, angles et volumes dans un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗, k⃗) à trois dimensions. Elle utilise le calcul vectoriel (produit scalaire, vectoriel, mixte) pour résoudre des problèmes de mécanique, de construction, et de représentation spatiale.
Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est défini par : u⃗·v⃗ = ||u⃗|| ||v⃗|| cos(u⃗,v⃗) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ en coordonnées cartésiennes. Il mesure la projection d'un vecteur sur l'autre et permet de :
Le produit vectoriel u⃗ ∧ v⃗ produit un vecteur orthogonal au plan formé par u⃗ et v⃗, de norme ||u⃗ ∧ v⃗|| = ||u⃗|| ||v⃗|| sin(u⃗,v⃗), orienté selon la règle de la main droite. En coordonnées : u⃗ ∧ v⃗ = (y₁z₂-z₁y₂)i⃗ + (z₁x₂-x₁z₂)j⃗ + (x₁y₂-y₁x₂)k⃗. Applications : calcul de moments de forces, aires de parallélogrammes, détermination de vecteurs normaux à des plans.
Équations d'objets géométriques :
| Objet | Équation cartésienne | Équation paramétrique |
|---|---|---|
| Plan | ax + by + cz + d = 0 (n⃗ = (a,b,c) vecteur normal) |
M = A + λu⃗ + μv⃗ (A point du plan, u⃗,v⃗ vecteurs directeurs) |
| Droite | Intersection de deux plans {ax+by+cz+d=0 {a'x+b'y+c'z+d'=0 |
M = A + λu⃗ (A point de la droite, u⃗ vecteur directeur) |
| Sphère | (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R² (centre Ω(a,b,c), rayon R) |
— |
Un polynôme P(x) = aₙx^n + aₙ₋₁x^(n-1) + ... + a₁x + a₀ est caractérisé par son degré n et ses coefficients. Les opérations fondamentales incluent la division euclidienne : A(x) = B(x)Q(x) + R(x) avec deg(R) < deg(B).
Le théorème de factorisation stipule que si a est racine de P (P(a) = 0), alors P(x) = (x-a)Q(x). Les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels apparaissent par paires conjuguées : si z est racine, z̄ l'est aussi.
Les fractions rationnelles F(x) = P(x)/Q(x) se décomposent en éléments simples pour faciliter l'intégration et la résolution d'équations différentielles. Pour Q(x) factorisé en facteurs du 1er et 2e degré, on écrit F(x) comme somme de termes élémentaires de type A/(x-a)^k ou (Bx+C)/(x²+px+q)^k.
Énoncé officiel type OBC
Soit f la fonction définie sur ℝ\{1} par : f(x) = (x² + 2x + 3)/(x - 1).
1) Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition et les asymptotes.
2) Calculer f'(x) et étudier les variations de f.
3) Tracer la courbe représentative (Cf) dans un repère orthonormé.
Solution détaillée :
1) Domaine et limites :
Df = ℝ\{1} (dénominateur s'annule en x = 1)
• Limite en +∞ : f(x) = (x² + 2x + 3)/(x - 1) = x²(1 + 2/x + 3/x²) / x(1 - 1/x) = x(1 + 2/x + 3/x²)/(1 - 1/x)
Quand x → +∞ : f(x) ~ x(1)/(1) = x → +∞
Pour préciser, effectuons la division euclidienne : x² + 2x + 3 = (x-1)(x+3) + 6
Donc f(x) = x + 3 + 6/(x-1)
Asymptote oblique : y = x + 3 (limite de f(x) - x = 3 + 6/(x-1) → 3 quand x → +∞)
• Limite en -∞ : Même raisonnement, asymptote oblique y = x + 3
• Limite en 1⁺ : Numérateur : 1 + 2 + 3 = 6 > 0, dénominateur → 0⁺, donc f(x) → +∞
• Limite en 1⁻ : Numérateur = 6 > 0, dénominateur → 0⁻, donc f(x) → -∞
Asymptote verticale : x = 1
2) Dérivée et variations :
f'(x) = [(2x+2)(x-1) - (x²+2x+3)×1] / (x-1)²
= [2x² - 2x + 2x - 2 - x² - 2x - 3] / (x-1)²
= (x² - 2x - 5) / (x-1)²
Étudions le signe de x² - 2x - 5 :
Discriminant Δ = 4 + 20 = 24
Racines : x₁ = (2 - √24)/2 = 1 - √6 ≈ -1,45 ; x₂ = 1 + √6 ≈ 3,45
x² - 2x - 5 > 0 pour x < 1-√6 ou x > 1+√6
Tableau de variations :
| x | -∞ | 1-√6 | 1 | 1+√6 | +∞ | ||
| f'(x) | + | 0 | - | || | - | 0 | + |
| f(x) | -∞ ↗ | Max local | ↘ -∞ | || | +∞ ↘ | Min local | ↗ +∞ |
3) Tracé : Placer l'asymptote verticale x=1, l'asymptote oblique y=x+3, les extrema locaux, et tracer la courbe respectant les variations et asymptotes.
Énoncé pratique industriel
Un circuit RLC série est alimenté par une tension continue E = 12V. On ferme l'interrupteur à t=0. L'équation différentielle régissant la charge q(t) du condensateur est :
LC(d²q/dt²) + RC(dq/dt) + q = CE
avec L = 0,1 H, R = 20 Ω, C = 100 μF = 10⁻⁴ F.
Sachant que q(0) = 0 et i(0) = dq/dt(0) = 0, déterminer q(t).
Solution détaillée :
Étape 1 : Simplification de l'équation
LC(d²q/dt²) + RC(dq/dt) + q = CE
0,1×10⁻⁴(d²q/dt²) + 20×10⁻⁴(dq/dt) + q = 10⁻⁴×12
10⁻⁵(d²q/dt²) + 2×10⁻³(dq/dt) + q = 12×10⁻⁴
Multiplions par 10⁵ :
d²q/dt² + 200(dq/dt) + 10⁵q = 120
Étape 2 : Solution homogène
Équation caractéristique : r² + 200r + 10⁵ = 0
Δ = 40000 - 400000 = -360000 < 0 (régime pseudo-périodique)
r = (-200 ± i×600)/2 = -100 ± 300i
Solution homogène : q_h(t) = e^(-100t)[A cos(300t) + B sin(300t)]
Étape 3 : Solution particulière
Second membre constant → solution particulière constante : q_p = K
0 + 0 + 10⁵K = 120
K = 120/10⁵ = 1,2×10⁻³ C = 1,2 mC
Étape 4 : Solution générale et conditions initiales
q(t) = e^(-100t)[A cos(300t) + B sin(300t)] + 1,2×10⁻³
q(0) = 0 : A + 1,2×10⁻³ = 0 → A = -1,2×10⁻³
dq/dt = e^(-100t)[-300A sin(300t) + 300B cos(300t)] - 100e^(-100t)[A cos(300t) + B sin(300t)]
dq/dt(0) = 0 : 300B - 100A = 0 → B = 100A/300 = A/3 = -0,4×10⁻³
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