À la fin de cette leçon, vous saurez :
Le chapitre sur les dérivées constitue l'un des piliers fondamentaux du programme de Mathématiques en Terminale D. Selon le Ministère des Enseignements Secondaires (MINESEC) et les directives de l'Office du Baccalauréat du Cameroun (OBC), la maîtrise des dérivées représente une compétence incontournable pour tout candidat au BAC série D. Ce chapitre occupe une place centrale dans l'épreuve de mathématiques dont le coefficient est de 5, la plus élevée parmi toutes les disciplines pour cette série scientifique.
Les dérivées permettent d'étudier le comportement local et global des fonctions, un outil analytique essentiel tant pour les mathématiques pures que pour leurs applications en physique, chimie, économie et sciences de la vie. Le programme officiel du MINESEC insiste particulièrement sur la capacité des élèves à mener une étude complète de fonction, compétence systématiquement évaluée lors du BAC D : épreuves écrites obligatoires (Maths, Phys-Chim, SVT, Histoire-Géo, Anglais, Français Philo selon série) + EPS pratique. Note ≥10/20 = admis. Les questions portant sur les dérivées représentent généralement entre 30 et 40% des points de l'épreuve de mathématiques.
Ce chapitre s'inscrit dans une progression logique : après avoir étudié les fonctions et leurs limites (Chapitre 1), vous allez maintenant apprendre à analyser leurs variations grâce au calcul différentiel. Ces connaissances seront ensuite réinvesties dans le calcul intégral (Chapitre 3), créant ainsi une compréhension globale de l'analyse mathématique au programme de Terminale D.
Définition officielle (Programme MINESEC) :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un élément de I. La fonction f est dérivable en a si le taux d'accroissement admet une limite finie lorsque h tend vers 0 :
f'(a) = limh→0 [f(a+h) - f(a)] / h
Cette limite, lorsqu'elle existe, est appelée nombre dérivé de f en a, notée f'(a).
Interprétation géométrique : Le nombre dérivé f'(a) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est : y = f'(a)(x - a) + f(a).
Interprétation cinématique : Si f(t) représente la position d'un mobile à l'instant t, alors f'(t) représente sa vitesse instantanée. Cette interprétation est particulièrement importante pour les applications en physique au programme du BAC D.
Interprétation économique : Dans un contexte de coût C(q) en fonction de la quantité q, C'(q) représente le coût marginal, c'est-à-dire le coût supplémentaire occasionné par la production d'une unité supplémentaire.
Conformément au référentiel officiel de l'OBC, vous devez maîtriser parfaitement les dérivées des fonctions suivantes :
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| xn (n ∈ ℕ*) | n·xn-1 | ℝ |
| 1/x = x-1 | -1/x² | ℝ* |
| √x | 1/(2√x) | ]0, +∞[ |
| ex | ex | ℝ |
| ln(x) | 1/x | ]0, +∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | -sin(x) | ℝ |
| tan(x) | 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) | ℝ \ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ} |
Les règles de dérivation suivantes sont fondamentales et doivent être parfaitement maîtrisées pour l'examen du BAC D :
Règle 1 - Linéarité :
Si u et v sont dérivables et λ, μ sont des constantes réelles :
(λu + μv)' = λu' + μv'
Règle 2 - Produit (règle de Leibniz) :
(u·v)' = u'·v + u·v'
Règle 3 - Quotient :
(u/v)' = (u'·v - u·v') / v² (avec v ≠ 0)
Règle 4 - Composition (règle de la chaîne) :
[f(u(x))]' = u'(x) · f'(u(x))
Ou plus simplement : [f ∘ u]' = u' · (f' ∘ u)
Applications importantes de la règle de composition :
Théorème fondamental (Programme MINESEC) :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Attention : La réciproque n'est pas toujours vraie. Une fonction peut être croissante avec une dérivée qui s'annule en certains points (exemple : f(x) = x³ est croissante sur ℝ bien que f'(0) = 0).
Définition : On dit que f admet un maximum local en a si f(a) ≥ f(x) pour tout x dans un voisinage de a. De même pour un minimum local avec f(a) ≤ f(x).
Condition nécessaire d'extremum (CNE) :
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a, alors f'(a) = 0.
Point critique : Un point a où f'(a) = 0 ou f'(a) n'existe pas.
Condition suffisante d'extremum : Si f'(a) = 0 et que f' change de signe en a :
Une fonction peut être dérivée plusieurs fois. La dérivée de f' est notée f'' (dérivée seconde), puis f''', f(4), ..., f(n) (dérivée n-ième).
Lien avec la convexité (au programme) :
Énoncé : Calculer la dérivée de f(x) = (2x² - 3x + 1)⁵
Solution détaillée :
Étape 1 : Identifier la structure : il s'agit d'une fonction composée f = un avec u(x) = 2x² - 3x + 1 et n = 5.
Étape 2 : Appliquer la formule [un]' = n·u'·un-1
Étape 3 : Calculer u'(x) :
u'(x) = (2x² - 3x + 1)' = 4x - 3
Étape 4 : Appliquer la formule :
f'(x) = 5·(4x - 3)·(2x² - 3x + 1)⁴
Réponse finale : f'(x) = 5(4x - 3)(2x² - 3x + 1)⁴
Énoncé : Soit f(x) = x³ - 3x² + 4. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.
Solution complète :
1. Domaine de définition :
f est une fonction polynomiale donc Df = ℝ
2. Limites aux bornes :
limx→-∞ f(x) = limx→-∞ x³ = -∞
limx→+∞ f(x) = limx→+∞ x³ = +∞
3. Dérivée :
f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)
4. Étude du signe de f'(x) :
f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2
• Pour x < 0 : f'(x) = 3(-)(-) = 3(+) > 0
• Pour 0 < x < 2 : f'(x) = 3(+)(-) < 0
• Pour x > 2 : f'(x) = 3(+)(+) > 0
5. Calcul des valeurs particulières :
f(0) = 0³ - 3(0)² + 4 = 4 (maximum local)
f(2) = 2³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 (minimum local)
6. Tableau de variation :
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | ↗ | 4 | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Conclusion : f est croissante sur ]-∞; 0] et [2; +∞[, décroissante sur [0; 2]. Maximum local en (0; 4), minimum local en (2; 0).
Énoncé (type BAC D) : On veut construire une boîte rectangulaire sans couvercle à partir d'une feuille de carton carrée de côté 12 cm. On découpe aux quatre coins des carrés identiques de côté x cm, puis on replie. Quelle valeur de x maximise le volume de la boîte ?
Solution :
1. Mise en équation :
Après découpe et repliage :
• Hauteur : x
• Longueur et largeur : 12 - 2x
• Volume : V(x) = x(12 - 2x)² avec 0 < x < 6
2. Développement :
V(x) = x(144 - 48x + 4x²) = 4x³ - 48x² + 144x
3. Dérivée :
V'(x) = 12x² - 96x + 144 = 12(x² - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6)
4. Étude du signe sur ]0; 6[ :
V'(x) = 0 ⟺ x = 2 ou x = 6
Sur ]0; 2[ : V'(x) > 0 (croissante)
Sur ]2; 6[ : V'(x) < 0 (décroissante)
5. Maximum :
V est maximale pour x = 2 cm
Vmax = 2(12 - 4)² = 2 × 64 = 128 cm³
Réponse : Il faut découper des carrés de 2 cm de côté pour obtenir un volume maximal de 128 cm³.
Piège n°1 : Oublier la règle de la chaîne
Erreur classique : (2x + 1)³]' = 3(2x + 1)² ❌
Correct : (2x + 1)³]' = 2 × 3(2x + 1)² = 6(2x + 1)² ✓
Toujours multiplier par la dérivée de la fonction intérieure !
Piège n°2 : Confusion entre dérivée nulle et extremum
f'(a) = 0 ne garantit PAS que a est un extremum. Il faut vérifier le changement de signe de f'.
Exemple : f(x) = x³ a pour dérivée f'(x) = 3x², donc f'(0) = 0, mais 0 n'est pas un extremum (point d'inflexion à tangente horizontale).
Piège n°3 : Erreur dans la dérivée d'un quotient
Erreur : (u/v)' = u'/v' ❌
Correct : (u/v)' = (u'v - uv')/v² ✓
Astuce mnémotechnique : "dérivée du haut fois le bas MOINS haut fois dérivée du bas, le tout sur le bas au carré"
Piège n°4 : Domaine de dérivabilité oublié
Pour ln(u(x)), il faut impérativement que u(x) > 0. Ne pas vérifier cette condition constitue une erreur fréquente relevée dans les rapports de jury du BAC D.
Exemple : f(x) = ln(x² - 4) est dérivable uniquement sur ]-∞; -2[ ∪ ]2; +∞[
Piège n°5 : Signe de la dérivée mal étudié
Lorsque f'(x) est un produit ou un quotient, utiliser un tableau de signes rigoureux. Ne jamais "deviner" le signe sans justification.
Piège n°6 : Simplification abusive
Après calcul de la dérivée, ne simplifiez que si cela facilite l'étude du signe. Une dérivée non simplifiée mais correcte vaut mieux qu'une simplification erronée.
✓ Astuce n°1 : Vérification rapide
Pour vérifier votre dérivée, testez avec une valeur numérique simple et comparez avec le taux d'accroissement.
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